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• ステップ

三角方程式には、変数「x」（またはその他の変数）の1つ以上の三角関数が含まれています。三角方程式を解くことは、関数（s）と方程式全体を満たすような値「x」を見つけることです。

• 三角方程式の解は、度またはラジアンで表されます。例：

x =π/ 3; x =5π/ 6; x =3π/ 2; x = 45度; x = 37.12度; x = 178.37度。

• 注：ラジアンで表された角度と度で表された角度からの三角関数の値は同じです。半径が1に等しい三角関数の円は、三角関数を記述し、基本的な三角方程式と不等式の解の正しさをチェックするために使用されます。
• 三角方程式の例：
  • sin x + sin 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1.732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1。

1. 半径が1の三角関数の円（単位円）。
   • これは、半径が1に等しく、点Oを中心とする円です。単位円は、変数「x」の4つの基本的な三角関数を表します。ここで、「x」は、X軸の正の方向から反時計回りに測定された角度です。
   • 「x」が単位円上の角度である場合、次のようになります。
   • 横軸OAxは、関数F（x）= cosxを定義します。
   • 縦軸OByは、関数F（x）= sinxを定義します。
   • 縦軸ATは、関数F（x）= tanxを定義します。
   • 横軸BUは、関数F（x）= ctgxを定義します。

• 単位円は、基本的な三角方程式と不等式を解くためにも使用されます（「x」の異なる位置が考慮されます）。

ステップ

1. 1 三角方程式を解くという概念。
   • 三角方程式を解くには、それを1つ以上の基本的な三角方程式に変換します。三角方程式を解くことは、最終的には4つの基本的な三角方程式を解くことになります。
2. 2 基本的な三角方程式を解きます。
   • 基本的な三角方程式には4つのタイプがあります。
   • sin x = a; cos x = a
   • tg x = a; ctg x = a
   • 基本的な三角方程式を解くには、単位円上のさまざまなx位置を調べ、変換テーブル（または計算機）を使用する必要があります。
   • 例1.sinx = 0.866。変換テーブル（または計算機）を使用すると、次の答えが得られます：x =π/ 3。単位円は別の答えを与えます：2π/ 3。覚えておいてください：すべての三角関数は周期的です、つまり、それらの値は繰り返されます。たとえば、sinxとcosxの周期性は2πnであり、tgxとctgxの周期性はπnです。したがって、答えは次のように書かれています。
   • x1 =π/ 3 +2πn; x2 =2π/ 3 +2πn。
   • 例2.cosx = -1 / 2。変換テーブル（または計算機）を使用すると、次の答えが得られます：x =2π/ 3。単位円は別の答えを与えます：-2π/ 3。
   • x1 =2π/ 3 +2π; x2 =-2π/ 3 +2π。
   • 例3.tg（x--π/ 4）= 0。
   • 回答：x =π/ 4 +πn。
   • 例4.ctg 2x = 1.732。
   • 回答：x =π/ 12 +πn。
3. 3 三角方程式を解くために使用される変換。
   • 三角方程式を変換するには、代数変換（因数分解、同次項の削減など）と三角関数公式が使用されます。
   • 例5.三角関数公式を使用して、方程式sin x + sin 2x + sin 3x = 0は方程式4cosx * sin（3x / 2） * cos（x / 2）= 0に変換されます。したがって、次のことを行う必要があります。次の基本的な三角方程式を解きます。cosx= 0; sin（3x / 2）= 0; cos（x / 2）= 0。
     
     
4. 4 関数の既知の値から角度を見つける。
   • 三角方程式を解く方法を学ぶ前に、関数の既知の値から角度を見つける方法を学ぶ必要があります。これは、変換テーブルまたは計算機を使用して実行できます。
   • 例：cos x = 0.732。電卓は答えx = 42.95度を与えます。単位円は追加の角度を与え、その余弦も0.732です。
5. 5 単位円上にソリューションを脇に置きます。
   • 単位円上の三角方程式の解を延期することができます。単位円上の三角方程式の解は、正多角形の頂点です。
   • 例：単位円上の解x =π/ 3 +πn/ 2は、正方形の頂点です。
   • 例：単位円上の解x =π/ 4 +πn/ 3は、通常の六角形の頂点を表します。
6. 6 三角方程式を解く方法。
   • 特定の三角方程式に三角関数が1つしかない場合は、その方程式を基本的な三角方程式として解きます。特定の方程式に2つ以上の三角関数が含まれている場合、そのような方程式を解くには2つの方法があります（変換の可能性によって異なります）。
     • 方法1。
   • この方程式を次の形式の方程式に変換します。f（x） * g（x） * h（x）= 0、ここでf（x）、g（x）、h（x）は基本的な三角方程式です。
     
     
   • 例6.2cosx + sin 2x = 0。（0x2π）
   • 解決。二倍角の公式sin2x = 2 * sin x * cos xを使用して、sin2xを置き換えます。
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x *（sin x + 1）= 0。次に、cos x = 0と（sin x + 1）= 0の2つの基本的な三角方程式を解きます。
   • 例7.cosx + cos 2x + cos 3x = 0。（0x2π）
   • 解決策：三角関数公式を使用して、この方程式を次の形式の方程式に変換します：cos 2x（2cos x + 1）= 0。次に、2つの基本的な三角方程式を解きます：cos 2x = 0および（2cos x + 1）= 0。
   • 例8.sinx-sin 3x = cos2x。 （0x2π）
   • 解決策：三角関数公式を使用して、この方程式を次の形式の方程式に変換します：-cos 2x *（2sin x + 1）= 0。次に、2つの基本的な三角方程式を解きます：cos 2x = 0および（2sin x + 1）= 0。
     • 方法2。
   • 与えられた三角方程式を、1つの三角関数のみを含む方程式に変換します。次に、この三角関数を未知のもの、たとえばt（sin x = t; cos x = t; cos 2x = t、tg x = t; tg（x / 2）= tなど）に置き換えます。
   • 例9.3sin ^ 2 x-2cos ^ 2 x = 4sin x + 7（0x2π）。
   • 解決。この式で、（cos ^ 2 x）を（1-sin ^ 2 x）（同一性による）に置き換えます。変換された方程式は次のとおりです。
   • 3sin ^ 2 x-2 + 2sin ^ 2 x-4sin x-7 =0。sinxをtに置き換えます。方程式は次のようになります。5t^ 2-4t-9 = 0。これは、t1 = -1とt2 = 9/5の2つの根を持つ2次方程式です。 2番目のルートt2は、関数の値の範囲（-1 sin x 1）を満たしていません。ここで、次のことを決定します。t= sin x = -1; x =3π/ 2。
   • 例10.tgx + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • 解決。 tgxをtに置き換えます。元の方程式を次のように書き直します。（2t + 1）（t ^ 2 --1）= 0。ここでtを見つけ、次にt = tgxのxを見つけます。
7. 7 特別な三角方程式。
   • 特定の変換を必要とするいくつかの特別な三角方程式があります。例：
   • a * sin x + b * cos x = c; a（sin x + cos x）+ b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 三角関数の周期性。
   • 前述のように、すべての三角関数は周期的です。つまり、それらの値は特定の期間の後に繰り返されます。例：
     • 関数f（x）= sinxの周期は2πです。
     • 関数f（x）= tanxの周期はπに等しい。
     • 関数f（x）= sin2xの周期はπです。
     • 関数f（x）= cos（x / 2）の周期は4πです。
   • 問題で期間が指定されている場合は、この期間内の値「x」を計算します。
   • 注：三角方程式を解くのは簡単な作業ではなく、エラーが発生することがよくあります。だからあなたの答えを注意深くチェックしてください。これを行うには、グラフ電卓を使用して、指定された方程式R（x）= 0をプロットできます。このような場合、解は小数で表されます（つまり、πは3.14に置き換えられます）。