コンテンツ

• 予備情報
• ステップ
• パート1/3：基本
• パート2/3：ラプラス変換のプロパティ
• パート3/3：級数展開によるラプラス変換の検出

ラプラス変換は、定数係数を持つ微分方程式を解くために使用される積分変換です。この変換は、物理学と工学で広く使用されています。

適切なテーブルを使用できますが、必要に応じて自分で実行できるように、ラプラス変換を理解しておくと役立ちます。

予備情報

• 与えられた関数 ${ displaystyle f（t）}$のために定義された ${ displaystyle t geq0。}$ それで ラプラス変換 関数 ${ displaystyle f（t）}$ 各値の次の関数です ${ displaystyle s}$、積分が収束する場所：
  • ${ displaystyle F（s）= { mathcal {L}} {f（t）} = int _ {0} ^ { infty} f（t）e ^ {-st} mathrm {d} NS}$
• ラプラス変換は、t領域（時間スケール）からs領域（変換領域）への関数を取ります。ここで、 ${ displaystyle F（s）}$ 複素変数の複素関数です。これにより、関数を、解決策をより簡単に見つけることができる領域に移動できます。
• 明らかに、ラプラス変換は線形演算子であるため、項の合計を扱う場合は、各積分を個別に計算できます。
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af（t）+ bg（t）] e ^ {-st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f（t）e ^ {-st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g（t）e ^ {-st} mathrm {d} t}$
• ラプラス変換は、積分が収束する場合にのみ機能することに注意してください。関数の場合 ${ displaystyle f（t）}$ 不連続性がある場合、不確実性を回避するために、注意して統合の限界を正しく設定する必要があります。

ステップ

パート1/3：基本

1. 1 関数をラプラス変換式に代入します。 理論的には、関数のラプラス変換は非常に簡単に計算できます。例として、関数を考えてみましょう ${ displaystyle f（t）= e ^ {at}}$、 どこ ${ displaystyle a}$ との複素定数です ${ displaystyle operatorname {Re}（s） operatorname {Re}（a）。}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {-st} mathrm {d} t}$
2. 2 利用可能な方法を使用して積分を推定します。 この例では、見積もりは非常に単純であり、簡単な計算で済ませることができます。より複雑なケースでは、より複雑な方法が必要になる場合があります。たとえば、部分積分や積分記号の下での微分などです。制約条件 ${ displaystyle operatorname {Re}（s） operatorname {Re}（a）}$ 積分が収束することを意味します。つまり、その値は次のように0になる傾向があります。 ${ displaystyle t to infty。}$
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {e ^ {at} }＆= int _ {0} ^ { infty} e ^ {（as）t} mathrm {d } t ＆= { frac {e ^ {（as）t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} ＆= { frac {1} {sa}} end {整列}}}$
   • オイラーの公式によると、これにより、正弦と余弦の2種類のラプラス変換が得られることに注意してください。 ${ displaystyle e ^ {iat}}$..。この場合、分母には次のようになります。 ${ displaystyle s-ia、}$ そして、それは実数部と虚数部を決定することだけが残っています。結果を直接評価することもできますが、少し時間がかかります。
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operatorname {Re} left（{ frac {1} {s-ia}} right）= { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatorname {Im} left（{ frac {1} {s-ia}} right）= { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 べき関数のラプラス変換について考えてみます。 まず、線形性プロパティを使用して次の変換を見つけることができるため、べき関数の変換を定義する必要があります。 全部の 多項式。フォームの関数 ${ displaystyle t ^ {n}、}$ どこ ${ displaystyle n}$ -任意の正の整数。再帰的なルールを定義するために、1つずつ統合できます。
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {-st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • この結果は暗黙的に表現されますが、複数の値を代入すると ${ displaystyle n、}$ 特定のパターンを確立することができます（自分でそれを試してみてください）。これにより、次の結果を得ることができます。
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n！} {s ^ {n + 1}}}}$
   • ガンマ関数を使用して、分数の累乗のラプラス変換を定義することもできます。たとえば、このようにして、次のような関数の変換を見つけることができます。 ${ displaystyle f（t）= { sqrt {t}}。}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma（n + 1）} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma（3/2）} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • 分数の累乗を持つ関数にはカットが必要ですが（複素数は覚えておいてください） ${ displaystyle z}$ と ${ displaystyle alpha}$ 次のように書くことができます ${ displaystyle z ^ { alpha}}$、 なぜなら ${ displaystyle e ^ { alpha operatorname {Log} z}}$）、カットが左半平面にあるように常に定義できるため、分析性の問題を回避できます。

パート2/3：ラプラス変換のプロパティ

1. 1 関数のラプラス変換に掛けたものを見つけましょう eNSNS{ displaystyle e ^ {at}}. 前のセクションで得られた結果により、ラプラス変換のいくつかの興味深い特性を見つけることができました。コサイン、サイン、指数関数などの関数のラプラス変換は、べき関数変換よりも単純なようです。による乗算 ${ displaystyle e ^ {at}}$ t領域ではに対応します シフト s領域：
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f（t）} = int _ {0} ^ { infty} f（t）e ^ {-（sa）t} mathrm {d} t = F（sa）}$
   • このプロパティを使用すると、次のような関数の変換をすぐに見つけることができます。 ${ displaystyle f（t）= e ^ {3t} sin 2t}$、積分を計算する必要はありません：
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {（s-3）^ {2} +4}}}$
2. 2 関数のラプラス変換に掛けたものを見つけましょう NSNS{ displaystyle t ^ {n}}. まず、乗算を検討してください ${ displaystyle t}$..。定義上、積分の下で関数を区別し、驚くほど単純な結果を得ることができます。
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {tf（t）}＆= int _ {0} ^ { infty} tf（t）e ^ {-st} mathrm { d} t ＆=- int _ {0} ^ { infty} f（t）{ frac {部分} {部分s}} e ^ {-st} mathrm {d} t ＆=-{ frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f（t）e ^ {-st} mathrm {d} t ＆=-{ frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {aligned}}}$
   • この操作を繰り返すと、最終結果が得られます。
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f（t）} =（-1）^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • 統合と微分の演算子の再配置には追加の正当化が必要ですが、ここでは説明しませんが、最終結果が理にかなっている場合にのみ、この操作が正しいことに注意してください。また、変数が ${ displaystyle s}$ と ${ displaystyle t}$ お互いに依存しないでください。
   • このルールを使用すると、次のような関数の変換を簡単に見つけることができます。 ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$、部品による再統合なし：
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {（s ^ {2} +4）^ {3}}}}$
3. 3 関数のラプラス変換を見つける NS(NSNS){ displaystyle f（at）}. これは、変換の定義を使用して変数をuに置き換えることで簡単に実行できます。
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f（at）}＆= int _ {0} ^ { infty} f（at）e ^ {-st} mathrm { d} t、 u = at ＆= { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f（u）e ^ {-su / a} mathrm {d } u ＆= { frac {1} {a}} F left（{ frac {s} {a}} right） end {aligned}}}$
   • 上記で、関数のラプラス変換を見つけました ${ displaystyle sin at}$ と ${ displaystyle cos at}$ 指数関数から直接。このプロパティを使用すると、実数部と虚数部を見つけても同じ結果を得ることができます ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 導関数のラプラス変換を見つける NS′(NS){ displaystyle f ^ { prime}（t）}. 前の例とは異なり、この場合 した方が良い ピースごとに統合する：
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f ^ { prime}（t）}＆= int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime}（t ）e ^ {-st} mathrm {d} t、 u = e ^ {-st}、 mathrm {d} v = f ^ { prime}（t） mathrm {d} t ＆= f（t）e ^ {-st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f（t）e ^ {-st} mathrm {d } t ＆= sF（s）-f（0） end {aligned}}}$
   • 二次導関数は多くの物理的な問題で発生するため、ラプラス変換も見つかります。
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime}（t）} = s ^ {2} F（s）-sf（0）-f ^ { prime}（0） }$
   • 一般的な場合、n次導関数のラプラス変換は次のように定義されます（これにより、ラプラス変換を使用して微分方程式を解くことができます）。
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {（n）}（t）} = s ^ {n} F（s）- sum _ {k = 0} ^ {n-1} s ^ {nk-1} f ^ {（k）}（0）}$

パート3/3：級数展開によるラプラス変換の検出

1. 1 周期関数のラプラス変換を見つけましょう。 周期関数は条件を満たす ${ displaystyle f（t）= f（t + nT）、}$ どこ ${ displaystyle T}$ 関数の期間であり、 ${ displaystyle n}$ は正の整数です。周期関数は、信号処理や電気工学など、多くのアプリケーションで広く使用されています。単純な変換を使用すると、次の結果が得られます。
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f（t）}＆= int _ {0} ^ { infty} f（t）e ^ {-st} mathrm { d} t ＆= sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {（n + 1）T} f（t）e ^ {-st} mathrm {d} t ＆= sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f（t + nT）e ^ {-s（t + nT）} mathrm {d} t ＆= sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {-snT} int _ {0} ^ {T} f（t）e ^ {-st} mathrm {d} t ＆= { frac {1} {1-e ^ {-sT}}} int _ {0} ^ {T} f（t）e ^ {-st} mathrm {d} t end {整列}}}$
   • ご覧のとおり、周期関数の場合、ラプラス変換を1周期実行するだけで十分です。
2. 2 自然対数のラプラス変換を実行します。 この場合、積分は初等関数の形で表現することはできません。ガンマ関数とその級数展開を使用すると、自然対数とその次数を推定できます。オイラー-マシェロニ定数の存在 ${ displaystyle gamma}$ は、この積分を推定するには、級数展開を使用する必要があることを示しています。
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } =-{ frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 正規化されていないsinc関数のラプラス変換について考えてみます。 関数 ${ displaystyle operatorname {sinc}（t）= { frac { sin t} {t}}}$ 信号処理に広く使用されており、微分方程式では、第1種の球面ベッセル関数とゼロ次の関数に相当します。 ${ displaystyle j_ {0}（x）。}$ この関数のラプラス変換も、標準的な方法では計算できません。この場合、べき級数である級数の個々のメンバーの変換が実行されるため、それらの変換は必然的に特定の間隔で収束します。
   • まず、テイラー級数で関数の展開を記述します。
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {（-1）^ {n} t ^ {2n}} {（2n +1）！}}}$
   • ここで、べき関数の既知のラプラス変換を使用します。階乗はキャンセルされ、その結果、アークタンジェントのテイラー展開、つまり、正弦のテイラー級数に似ているが階乗のない交代級数が得られます。
     • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right }＆= sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {（-1）^ {n}（2n）！} {（2n + 1）！}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} ＆= sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {（-1）^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} ＆= tan ^ {-1} { frac {1} {s}} end {aligned}}}$