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• ステップ
• 方法1/3：未知の側面を見つける方法
• 方法2/3：未知の角度を見つける
• 方法3/3：サンプルの問題
• チップ

余弦定理は三角法で広く使用されています。不規則な三角形を操作して、辺や角度などの未知の量を見つけるときに使用されます。この定理はピタゴラスの定理に似ており、覚えるのはかなり簡単です。余弦定理は、どの三角形でも ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

ステップ

方法1/3：未知の側面を見つける方法

1. 1 既知の値を書き留めます。 三角形の未知の辺を見つけるには、他の2つの辺とそれらの間の角度を知る必要があります。
   • たとえば、三角形XYZが与えられます。 YX側は5cm、YZ側は9cm、Y角度は89°です。 XZ側とは何ですか？
2. 2 余弦定理の公式を書き留めます。 方式： ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$、 どこ ${ displaystyle c}$ -不明なパーティ、 ${ displaystyle cos {C}}$ -未知の辺と反対の角度の余弦、 ${ displaystyle a}$ と ${ displaystyle b}$ -2つのよく知られた側面。
3. 3 既知の値を数式にプラグインします。 変数 ${ displaystyle a}$ と ${ displaystyle b}$ 2つの既知の側面を示します。変数 ${ displaystyle C}$ 側面の間にある既知の角度です ${ displaystyle a}$ と ${ displaystyle b}$.
   • この例では、XZ側は不明であるため、式では次のように表されます。 ${ displaystyle c}$..。辺YXとYZは既知であるため、変数で表されます。 ${ displaystyle a}$ と ${ displaystyle b}$..。変数 ${ displaystyle C}$ は角度Yです。したがって、式は次のように記述されます。 ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2（5）（9） cos {89}}$.
4. 4 既知の角度のコサインを見つけます。 電卓でやってください。角度の値を入力し、をクリックします ${ displaystyle COS}$..。関数電卓をお持ちでない場合は、たとえば、ここでオンラインコサインテーブルを見つけてください。また、Yandexでは、「X度のコサイン」（Xの角度値を代入）を入力すると、検索エンジンに角度のコサインが表示されます。
   • たとえば、コサインは89°≈0.01745です。それで： ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2（5）（9）（0.01745）}$.
5. 5 数字を掛けます。 かける ${ displaystyle 2ab}$ 既知の角度の余弦によって。
   • 例えば：
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2（5）（9）（0.01745）}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
6. 6 既知の辺の正方形を折ります。 数値を二乗するには、それ自体を乗算する必要があることを忘れないでください。まず、対応する数値を2乗してから、結果の値を加算します。
   • 例えば：
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 25 + 81-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
7. 7 2つの数を引きます。 見つけるだろう ${ displaystyle c ^ {2}}$.
   • 例えば：
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
8. 8 この値の平方根を取ります。 これを行うには、電卓を使用します。これはあなたが未知の側面を見つける方法です。
   • 例えば：
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104.4293}}}$
     ${ displaystyle c = 10.2191}$
     したがって、未知の辺は10.2191cmです。

方法2/3：未知の角度を見つける

1. 1 既知の値を書き留めます。 三角形の未知の角度を見つけるには、三角形の3つの辺すべてを知る必要があります。
   • たとえば、三角形のRSTが与えられます。側面CP = 8 cm、ST = 10 cm、PT = 12cm角度Sの値を見つけます。
2. 2 余弦定理の公式を書き留めます。 方式： ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$、 どこ ${ displaystyle cos {C}}$ -未知の角度のコサイン、 ${ displaystyle c}$ -未知のコーナーの反対側の既知の側面、 ${ displaystyle a}$ と ${ displaystyle b}$ -他の2つの有名なパーティー。
3. 3 値を見つける NS{ displaystyle a}, NS{ displaystyle b} と NS{ displaystyle c}. 次に、それらを数式に接続します。
   • たとえば、RT側は未知の角度Sと反対であるため、RT側は ${ displaystyle c}$ 式で。他の当事者は ${ displaystyle a}$ と ${ displaystyle b}$..。したがって、式は次のように記述されます。 ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2（8）（10） cos {C}}$.
4. 4 数字を掛けます。 かける ${ displaystyle 2ab}$ 未知の角度の余弦によって。
   • 例えば、 ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 直立 NS{ displaystyle c} 正方形で。 つまり、数値自体を乗算します。
   • 例えば、 ${ displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 四角を折る NS{ displaystyle a} と NS{ displaystyle b}. しかし、最初に、対応する数を二乗します。
   • 例えば：
     ${ displaystyle 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 未知の角度のコサインを分離します。 これを行うには、金額を引きます ${ displaystyle a ^ {2}}$ と ${ displaystyle b ^ {2}}$ 方程式の両側から。次に、方程式の各辺を未知の角度の余弦の係数で除算します。
   • たとえば、未知の角度の余弦を分離するには、方程式の両辺から164を引き、各辺を-160で割ります。
     ${ displaystyle 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle -20 = -160 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-20} {-160}} = { frac {-160 cos {C}} {-160}}}$
     ${ displaystyle 0.125 = cos {C}}$
8. 8 逆余弦を計算します。 これにより、未知の角度の値が見つかります。電卓では、逆余弦関数が示されます ${ displaystyle COS ^ {-1}}$.
   • たとえば、0.0125の逆余関数は82.8192です。したがって、角度Sは82.8192°です。

方法3/3：サンプルの問題

1. 1 三角形の未知の辺を見つけます。 既知の辺は20cmと17cmで、それらの間の角度は68°です。
   • 2つの辺とそれらの間の角度が与えられているので、余弦定理を使用できます。式を書き留めます。 ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • 未知の側面は ${ displaystyle c}$..。既知の値を式に代入します： ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2（20）（17） cos {68}}$.
   • 計算する ${ displaystyle c ^ {2}}$、数学演算の順序を観察する：
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2（20）（17） cos {68}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2（20）（17）（0.3746）}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 400 + 289-254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 689-254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 434.2675}$
   • 方程式の両辺の平方根を取ります。これはあなたが未知の側面を見つける方法です：
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434.2675}}}$
     ${ displaystyle c = 20.8391}$
     したがって、未知の辺は20.8391cmです。
2. 2 三角形GHIで角度Hを見つけます。 角Hに隣接する2辺は22cmと16cmです。角Hの反対側は13cmです。
   • 3つの辺すべてが与えられているので、余弦定理を使用できます。式を書き留めます。 ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • 未知の角の反対側は ${ displaystyle c}$..。既知の値を式に代入します： ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2（22）（16） cos {C}}$.
   • 結果の式を単純化します。
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256-704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 484 + 256-704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 740-704 cos {C}}$
   • コサインを分離します。
     ${ displaystyle 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ displaystyle -571 = -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-571} {-704}} = { frac {-704 cos {C}} {-704}}}$
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
   • 逆余弦を見つけます。これは、未知の角度を計算する方法です。
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
     ${ displaystyle 35.7985 = COS ^ {-1}}$.
     したがって、角度Hは35.7985°です。
3. 3 トレイルの長さを見つけます。 川、ヒリー、マーシュの小道は三角形を形成しています。リバートレイルの長さは3km、ヒリートレイルの長さは5kmです。これらのトレイルは135°の角度で互いに交差しています。沼のトレイルは、他のトレイルの両端を接続します。スワンプトレイルの長さを見つけます。
   • トレイルは三角形を形成します。三角形の辺である未知のパスの長さを見つける必要があります。他の2つのパスの長さとそれらの間の角度が与えられているので、余弦定理を使用できます。
   • 式を書き留めます。 ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • 未知のパス（沼）は次のように示されます ${ displaystyle c}$..。既知の値を式に代入します： ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2（3）（5） cos {135}}$.
   • 計算する ${ displaystyle c ^ {2}}$:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2（3）（5） cos {135}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2（3）（5）（-0.7071）}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2}-（-21.2132）}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 55.2132}$
   • 方程式の両辺の平方根を取ります。これは、未知のパスの長さを見つける方法です。
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55.2132}}}$
     ${ displaystyle c = 7.4306}$
     したがって、スワンプトレイルの長さは7.4306kmです。

チップ

• サイン定理を使用する方が簡単です。したがって、最初にそれが与えられた問題に適用できるかどうかを調べてください。