2つの変数を持つ連立方程式を解く

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ステップに
方法1/3：置換法の使用
方法2/3：除去方法を使用する
方法3/3：方程式をグラフ化する
チップ
警告

「連立方程式」では、2つ以上の方程式を同時に解くように求められます。これら2つにxとy、またはaとbなどの異なる変数が含まれている場合、それらを解決する方法を一目で理解するのは難しい場合があります。幸いなことに、何をすべきかがわかれば、問題を解決するために必要なのは、基本的な数学のスキル（場合によっては分数の知識）だけです。必要に応じて、または視覚的な学生の場合は、方程式をグラフ化する方法も学びます。グラフのグラフ化（プロット）は、「何が起こっているかを確認する」、または作業を確認するのに役立ちますが、他の方法よりも遅くなる可能性があり、すべての方程式系で機能するとは限りません。

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方法1/3：置換法の使用

変数を方程式の異なる側に移動します。 この「置換」方法は、方程式の1つで「xを解く」（またはその他の変数）から始まります。たとえば、次の方程式があります。 4x + 2y = 8 そして 5x + 3x = 9。まず、最初の比較を見てみましょう。各側から2yを引くことによって再配置すると、次のようになります。 4x = 8-2y.
- この方法では、後の段階で分数を使用することがよくあります。分数を使用したくない場合は、以下の消去方法を使用することもできます。
方程式の両辺を除算して、「x」を解きます。 方程式の片側に項x（または使用する変数）ができたら、方程式の両側を分割して変数を分離します。例えば：
- 4x = 8-2y
- （4x）/ 4 =（8/4）-（2y / 4）
- x =2-½y
これを他の方程式に接続し直します。 必ずに戻ってください その他 比較、あなたがすでに使用したものではありません。その方程式では、解いた変数を置き換えて、変数を1つだけ残します。例えば：
- あなたは今それを知っています： x =2-½y.
- まだ変更していない2番目の方程式は次のとおりです。 5x + 3x = 9.
- 2番目の式で、xを「2-½y」に置き換えます。 5（2-½y）+ 3y = 9.
残りの変数を解きます。 これで、変数が1つしかない方程式ができました。一般的な代数手法を使用して、その変数を解きます。 変数が互いに打ち消し合う場合は、最後のステップにスキップしてください。そうしないと、変数の1つに対する答えが得られます。
- 5（2-½y）+ 3y = 9
- 10-（5/2）y + 3y = 9
- 10-（5/2）y +（6/2）y = 9 （この手順を理解していない場合は、分数を追加する方法を学習してください。これは、常にではありませんが、多くの場合、この方法で必要です）。
- 10 +½y= 9
- ½y= -1
- y = -2
答えを使用して、他の変数を解きます。 問題を途中で終えるのを間違えないでください。他の変数を解くことができるように、元の方程式の1つに得た答えを再入力する必要があります。
- あなたは今それを知っています： y = -2
- 元の方程式の1つは次のとおりです。 4x + 2y = 8。（このステップでは、両方の方程式を使用できます）。
- yの代わりに-2をプラグインします。 4x + 2（-2）= 8.
- 4x-4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
両方の変数が互いに打ち消し合う場合の対処方法を知ってください。 あなたが x = 3y + 2 または、他の方程式で同様の答えを取得する場合は、変数が1つだけの方程式を取得しようとしています。代わりに方程式になってしまうこともありますなし変数。作業を再確認し、最初の方程式ではなく、2番目の方程式の（再配置された）最初の方程式を必ず置き換えてください。間違いがないことが確実な場合は、次のいずれかの結果が得られます。
- 変数がなく、真ではない方程式（3 = 5など）になってしまう場合は、問題があります。 解決策はありません。（方程式をグラフ化した場合、それらは平行であり、交差しないことがわかります）。
- 変数のない方程式になってしまった場合、しかしそれらは上手が真（たとえば、3 = 3）の場合、問題が発生します 無限の数のソリューション。 2つの方程式は完全に等しいです。（2つの方程式をグラフ化すると、それらが正確に重なっていることがわかります）。

方法2/3：除去方法を使用する

削除する変数を決定します。 方程式を足し合わせるとすぐに、方程式が変数内で互いに「排除」されることがあります。たとえば、方程式を実行するとき 3x + 2y = 11 そして 5x-2y = 13 組み合わせると、「+ 2y」と「-2y」は互いに打ち消し合い、すべての「y」がsは方程式から削除されます。問題の方程式を見て、この方法で変数のいずれかが削除されるかどうかを確認します。変数が削除されていない場合は、次の手順に進んでアドバイスを求めてください。
方程式を乗算して、変数をキャンセルします。 （変数がすでに互いに排除されている場合は、このステップをスキップしてください）。方程式のどの変数もそれ自体でキャンセルされない場合は、キャンセルするように方程式の1つを変更する必要があります。これは、例を使用して理解するのが最も簡単です。
- 連立方程式があるとします 3x-y = 3 そして -x + 2y = 4.
- 最初の方程式を変更して、変数が次のようになるようにします。 y 排除されます。（これを行うこともできますバツ実行して同じ答えを取得します）。
- ザ・ --y " 最初の方程式の + 2年 2番目の方程式では。私たちはこれを行うことができます -y 2を掛けます。
- 次のように、最初の方程式の両辺に2を掛けます。 2（3x-y）= 2（3）、したがって 6x-2y = 6。今は -2年 に対して落ちる + 2年 2番目の方程式で。
2つの方程式を組み合わせます。 2つの方程式を組み合わせることができるようにするには、左側と右側を足し合わせます。方程式を正しく記述した場合、変数の1つが他の変数に対して相殺されるはずです。最後のステップと同じ方程式を使用した例を次に示します。
- あなたの方程式は次のとおりです。 6x-2y = 6 そして -x + 2y = 4.
- 左側を組み合わせる： 6x-2y-x + 2y =？
- 右側を組み合わせる： 6x-2y-x + 2y = 6 + 4.
最後の変数を解きます。 結合された方程式を単純化し、基本的な代数を使用して最後の変数を解きます。簡略化後に変数が残っていない場合は、このセクションの最後のステップに進みます。それ以外の場合は、変数の1つに対する簡単な答えで終了する必要があります。例えば：
- あなたが持っている： 6x-2y-x + 2y = 6 + 4.
- 変数をグループ化するバツそして y お互いに： 6x-x-2y + 2y = 6 + 4.
- 簡素化する： 5x = 10
- xを解く： （5x）/ 5 = 10/5、そのため x = 2.
他の変数を解きます。 変数が1つ見つかりましたが、まだ完了していません。他の変数を解くことができるように、元の方程式の1つに答えを代入してください。例えば：
- あなたはそれを知っています x = 2、そしてそれはあなたの元の方程式の1つです 3x-y = 3 です。
- xの代わりに2を接続します。 3（2）-y = 3.
- 方程式でyを解きます。 6-y = 3
- 6-y + y = 3 + y、そう 6 = 3 + y
- 3 = y
両方の変数が互いに打ち消し合うときに何をすべきかを知ってください。 2つの方程式を組み合わせると、意味のない方程式や問題の解決に役立たない方程式が生成される場合があります。最初から作業を再確認しますが、間違えなかった場合は、次のいずれかの回答を書き留めてください。
- 結合された方程式に変数がなく、真でない場合（2 = 7など）、次のようになります。 解決策はありません これは両方の方程式に当てはまります。（両方の方程式をグラフ化すると、それらが平行であり、交差しないことがわかります）。
- 結合された方程式に変数がなく、真（0 = 0など）の場合、次のようになります。 無限の数のソリューション。 2つの方程式は実際には同じです。（これらをグラフに配置すると、完全に重なり合っていることがわかります）。

方法3/3：方程式をグラフ化する

この方法は、指定された場合にのみ使用してください。 コンピューターやグラフ電卓を使用していない限り、多くの連立方程式はこの方法を使用してのみ近似的に解くことができます。先生や数学の教科書でこの方法を使うように言われるかもしれませんので、おそらく線などのグラフを変項することに精通しているでしょう。この方法を使用して、他の方法のいずれかからの回答が正しいかどうかを確認することもできます。
- 基本的な考え方は、両方の方程式をグラフ化し、それらが交差する点を決定することです。この時点でのx値とy値は、連立方程式におけるxの値とyの値を示します。
yについて両方の方程式を解きます。 2つの方程式を分離し、代数を使用して各方程式を「y = __x + __」の形式に変換します。例えば：
- 最初の方程式は次のとおりです。 2x + y = 5。これを次のように変更します。 y = -2x + 5.
- 2番目の方程式は次のとおりです。 -3x + 6y = 0。これをに変更します 6y = 3x + 0、および単純化して y =½x+ 0.
- 両方の方程式は同一ですかの場合、線全体が「交点」になります。書く： 無限のソリューション.
座標系を描画します。 方眼紙に縦の「y軸」と横の「x軸」を描きます。線が交差する点から開始し、番号1、2、3、4などにy軸を上に、x軸に沿って右にラベルを付けます。 y軸に沿って下に、x軸に沿って左に番号-1、-2などのラベルを付けます。
- 方眼紙がない場合は、定規を使用して、数字が等間隔に配置されていることを確認してください。
- 大きな数値または小数点以下の桁数を使用している場合は、グラフを拡大縮小する必要がある場合があります。（たとえば、1、2、3の代わりに10、20、30または0.1、0.2、0.3）。
各線のy交差を描画します。 次の形式の方程式ができたら y = __x + __ 線がy軸と交差する点を設定することで、グラフ化を開始できます。これは常にy値であり、この式の最後の数値と同じです。
- 前述の例では、1行（y = -2x + 5）y軸に 5。他の行（y =½x+ 0）ゼロ点を通過します 0。（これらはグラフの点（0.5）と（0.0）です）。
- 可能であれば、各線を異なる色で示します。
傾斜を使用して線を描き続けます。 フォームで y = __x + __、はx番目の数です スロープ オフライン。 xが1増加するたびに、y値は勾配の値とともに増加します。この情報を使用して、x = 1の場合の各線のグラフ上の点を見つけます（または、各方程式をx = 1に置き換え、yを解きます）。
- この例では、行は y = -2x + 5 の傾斜 -2。 x = 1で、2行目が下降します ダウン 点x = 0から。（0.5）と（1.3）の間に線分を描きます。
- ルール y =½x+ 0の傾きがあります ½。 x = 1では、線は½になります アップ 点x = 0から。（0,0）と（1、½）の間に線分を描きます。
- 線の傾きが同じ場合 線が交差することはないため、連立方程式の解はありません。書く： 解決策はありません.
交差するまで線をプロットし続けます。 停止してチャートを見てください。線がすでに交差している場合は、次の手順に進みます。それ以外の場合は、行の機能に基づいて決定を下します。
- 線が互いに向かって移動するとき、その方向に点を描き続けます。
- 線が互いに離れる方向に移動している場合は、戻って、x = -1から開始して反対方向に点を描画します。
- 線が互いに近くにない場合は、先にジャンプして、x = 10などのより遠い点をプロットします。
線の交点で答えを見つけてください。 2つの線が交差すると、その時点でのx値とy値が問題の解決策になります。運が良ければ、答えは整数になります。たとえば、この例では、2本の線が交差しています (2,1) あなたの答えもそうです x = 2およびy = 1。一部の連立方程式では、線は2つの整数の間の値で交差し、グラフが非常に正確でない限り、これがどこにあるかを判断するのは困難です。この場合、「xは1から2の間です」のように答えることができます。置換法または除去法を使用して、正確な答えを見つけることもできます。