数学的証明の作成

ビデオ: ＜数学が苦手な人向け！！！！！＞【数列】数学的帰納法「推定し、証明する」

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ステップに
方法1/3：問題を理解する
方法2/3：証明の構造化
方法3/3：証拠の作成
チップ

数学的証明は難しい場合がありますが、数学と証明の構造の両方に関する適切な背景知識があれば、確実にそれらをうまく定式化することができます。残念ながら、証拠を作成する方法を学ぶための迅速で簡単な方法はありません。証拠を論理的に開発するための正しい論文と定義を考え出すには、主題の知識にしっかりとした基盤が必要です。例を読んで自分で練習することで、数学的校正のスキルを習得することができます。

ステップに

方法1/3：問題を理解する

質問を理解します。 最初に、証明しようとしていることが何であるかを正確に判断する必要があります。この質問は、証拠の最終論文としても役立ちます。このステップでは、作業する前提条件も定義します。質問を特定し、必要な仮定を立てることで、問題を理解し、証拠を作成するための出発点が得られます。
図を描く。 数学の問題の内部の仕組みを理解しようとするとき、何が起こっているのかを図で描くのが最も簡単な場合があります。チャートは、実際に証明したいものを視覚化できるため、幾何学的証明では特に重要です。
- 問題で提供された情報を使用して、証拠の絵を描きます。知人や見知らぬ人に名前を付けます。
- 証拠を作成するときは、証拠を裏付けるために必要な情報を使用してください。
関連する定理の証拠を研究します。 証拠を構築することを学ぶのは難しいですが、これを学ぶための優れた方法は、関連するステートメントとそれらがどのように証明されたかを研究することです。
- 証明は、すべてのステップが実証されているだけの良い議論であることを認識してください。オンラインと教科書の両方で、勉強するための多くの証拠を見つけることができます。
質問をする。 証明で立ち往生するのはごく普通のことです。あなたがそれを理解できないかどうかあなたの先生かクラスメートに尋ねてください。後者も同様の質問があるかもしれません、そしてあなたは問題に一緒に取り組むことができます。証拠を盲目的に歩き回るよりも、質問をしてから理解する方がよいでしょう。
- 追加の説明については、授業後に先生に相談してください。

方法2/3：証明の構造化

数学的証明を定義します。 数学的証明は、別の数学的ステートメントの正しさを証明する定理と定義によってサポートされる論理ステートメントのセットです。証明は、アサーションが数学的に有効かどうかを知る唯一の方法です。
- 数学的証明を定式化できることは、問題自体、および問題に関連するすべての概念の基本的な理解を示します。
- 証拠はまたあなたに新しくて刺激的な方法で数学を見ることを強制します。何かを証明しようとするだけで、証拠が最終的に正しくないように見えても、それについての知識と洞察が得られます。
あなたの聴衆を知っています。 証明を書く前に、あなたはそれを書いている聴衆と彼らがすでに知っていることについて考えなければなりません。出版物の証明を書く場合は、高校のクラスとは異なる方法で行います。
- あなたの聴衆を知ることはあなたが聴衆が持っている背景知識の量を与えられてそれが理解するであろう方法で証拠を定式化することを可能にします。
あなたが提出している証拠の種類を理解してください。 証明にはいくつかの種類があり、選択するものは対象読者と割り当てによって異なります。使用するバージョンがわからない場合は、先生にアドバイスを求めてください。高校では、正式な2列の証明など、特定の形式で証拠を作成することが期待される場合があります。
- 2列の証明は、データとアサーションが1つの列に配置され、その隣にある裏付けとなる証拠が2番目の列に配置される構造です。それらはジオメトリで非常に頻繁に使用されます。
- 非公式の段落証明は、文法的に正しいステートメントとより少ない記号を使用します。より高いレベルでは、常に非公式の証明を使用する必要があります。
概要として2列に証明を書いてください。 証明を2列に構成することは、考えを整理して問題を検討する簡単な方法です。ページの中央に線を引き、左側にすべてのデータとステートメントを書き込みます。対応する定義/ステートメントを、それらがサポートするデータの横の右側に記述します。
- 例えば：
- 角度Aと角度Bは線形ペアを形成します。与えられた。
- コーナーABCはまっすぐです。直角の定義。
- 角度ABCは180°です。線の定義。
- 角度A +角度B =角度ABC。角度を追加するための仮定。
- 角度A +角度B = 180°。代用。
- 角度Bの補足としての角度A。追加の角度の定義。
- Q.E.D.
2列の証明を非公式の証明に変換します。 2列の証明に基づいて、記号や略語が多すぎない段落として非公式の証明を記述します。
- たとえば、角度AとBが線形ペアであるとします。仮説は、角度Aと角度Bが互いに補完し合うというものです（補足です）。角度Aと角度Bは直線のペアであるため、直線を形成します。直線は180°の角度として定義されます。角度の追加の仮定を考えると、角度AとBは一緒に線ABCを形成します。代用として、AとBは合わせて180°であるため、補助的な角度になります。 Q.E.D.

方法3/3：証拠の作成

数学的証明の語彙を学びます。 数学的な証明で見続ける特定のステートメントと文があります。これらは、あなたが精通していて、あなた自身の証拠を作成するときにうまく使うことができるはずのフレーズです。
- 「Aの場合、B」は、Aが真の場合、Bも真でなければならないことを示す必要があることを意味します。
- 「Aifand only if B」は、AとBが同時に真と偽であることを証明する必要があることを意味します。「Aの場合はB」と「Aでない場合はBではない」の両方を証明します。
- 「Aの場合のみ」は「Aの場合はB」と同じ意味であるため、あまり使用されません。あなたがそれに出くわしたときにこれを知っておくのは良いことです。
- 証拠を作成するときは、「私たち」を優先して「私」を使用することは避けてください。
すべてのデータを書き留めます。 証明をまとめるときの最初のステップは、すべてのデータを識別して記録することです。これは、証拠を完成させるために何がわかっているか、どのような情報が必要かを考えるのに役立つため、開始するのに最適な場所です。問題を読み、各情報を書き留めます。
- 例：線形ペアを形成する2つの角度（角度Aと角度B）が補足であることを証明します。
- 与えられた：角度Aと角度Bは線形ペアを形成します
- 証明：角度Aは角度Bを補足します。
すべての変数を定義します。 データの書き込みに加えて、すべての変数を定義すると便利です。読者の混乱を避けるために、証拠の最初に定義を書いてください。変数が定義されていない場合、読者はあなたの証拠を理解しようとして簡単に迷子になる可能性があります。
- まだ定義されていない変数を証明に使用しないでください。
- 例：変数は、角度Aと角度Bの測度です。
証拠を逆方向に調べます。 多くの場合、問題について後ろ向きに考えるのが最も簡単です。結論、あなたが証明しようとしていることから始めて、あなたを最初に戻すことができるステップについて考えてください。
- 最初と最後の手順を編集して、類似しているかどうかを確認します。データ、学習した定義、および同様の証拠を使用してください。
- 途中で自分自身に質問してください。「なぜそうなのか」と「これが間違っている方法はありますか？」どんな声明や主張に対しても良い質問です。
- 最終的な証明のために、手順を順番に書くことを忘れないでください。
- 例：角度AとBが補足的である場合、それらを合わせて180°にする必要があります。 2つの角が一緒に線ABCを形成します。線形ペアの定義により、それらが線を形成することを知っています。直線は180°なので、置換を使用して、角度Aと角度Bの合計が180°になることを証明できます。
ステップを論理的な順序で配置します。 最初に証拠を開始し、結論に至るまで作業を進めます。証拠について考えることは有益ですが、結論から始めて逆方向に作業することにより、実際の証拠を提示するときに、結論を最後に置きます。証拠の中の陳述は、あなたの証拠の有効性を疑う理由がないように、各陳述を立証して、互いに流れなければなりません。
- 作業している仮定をリストすることから始めます。
- 読者が1つのステップが別のステップから論理的にどのように流れるのか不思議に思う必要がないように、それらを単純で明確なステップに分割します。
- 複数の概念実証を作成することは珍しいことではありません。すべてのステップが最も論理的な順序になるまで、並べ替えを続けます。
- 例：最初から始めます。
  - 角度Aと角度Bは線形ペアを形成します。
  - コーナーABCはまっすぐです。
  - 角度ABCは180°です。
  - 角度A +角度B =角度ABC。
  - 角度A +角度B = 180°。
  - 角度Aは角度Bを補足するものです。
書面による証拠に矢印や略語を使用することは避けてください。 証明の計画を概説するときは、速記と記号を使用できますが、最終的な証明を書くときは、矢印などの記号が読者を混乱させる可能性があります。代わりに、「then」や「so」などの単語を使用してください。
- 略語を使用する場合の例外は次のとおりです。たとえば、（たとえば）およびつまり（つまり）ですが、正しく使用するようにしてください。
定理（定理）、法則、または定義を使用してすべてのステートメントをサポートします。 証拠は、使用された証拠と同じくらい良いだけです。定義でそれを立証せずに声明を出すことはできません。例として、他の同様の証拠を参照してください。
- あなたの証拠を次のような場合に適用してみてください false する必要があり、これが実際に当てはまることを確認します。結果が偽でない場合は、偽になるように証明を調整します。
- 多くの幾何学的証明は、ステートメントと証明とともに2列の証明として記述されます。出版を目的とした正式な数学的証明は、正しい文法の段落として書かれています。
結論またはQ.E.D.で終了します。 証拠の最後の声明は、あなたが証明しようとしていた仮説でなければなりません。このステートメントを作成したら、Q.E.D。などの最後の記号で証明を閉じます。または塗りつぶされた四角で、証明が完了したことを示します。
- Q.E.D. 「quoderatdemonstrandum」（ラテン語で「証明されなければならなかったもの」）の略です。
- 証拠が正しいかどうかわからない場合は、結論とは何か、なぜそれが重要なのかを数文で書いてください。