行列を転置する方法

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ステップ
パート1/3：マトリックスを転置する
パート2/3：転置プロパティ
パート3/3：複素数要素を持つエルミート共役行列
チップ

行列を転置する方法を学ぶと、その構造をよりよく理解できるようになります。正方行列とその対称性については、転置をマスターするのに役立つことをすでに知っているかもしれません。とりわけ、転置は、ベクトルを行列形式に変換し、ベクトル積を見つけるのに役立ちます。複素行列を扱う場合、エルミート共役（共役-転置）行列は、さまざまな問題の解決に役立ちます。

ステップ

パート1/3：マトリックスを転置する

1 任意の行列を取ります。 行と列の数に関係なく、任意の行列を転置できます。ほとんどの場合、行と列の数が同じである正方行列を転置する必要があるため、簡単にするために、例として次の行列を検討してください。
- マトリックス NS =
  1  2  3
  4  5  6
  7  8  9
2 直接行列の最初の行を転置行列の最初の列として想像してください。 最初の行を列として記述するだけです。
- 転置行列= A
- 行列Aの最初の列：
  1
  2
  3
3 残りの行についても同じようにします。 元の行列の2行目は、転置行列の2列目になります。すべての行を列に変換します。
- NS =
  1  4  7
  2  5  8
  3  6  9
4 非正方行列を転置してみてください。 どの長方形の行列も同じ方法で転置できます。最初の行を最初の列として、2番目の行を2番目の列として、というように書くだけです。以下の例では、元の行列の各行に独自の色が付けられており、転置時にどのように変換されるかが明確になっています：
- マトリックス Z =
  4 7 2 1
  3 9 8 6
- マトリックス Z =
  4  3
  7  9
  2  8
  1  6
5 転置を数学表記の形で表現しましょう。 転置のアイデアは非常に単純ですが、厳密な式として書き留めておくことをお勧めします。行列表記には特別な用語は必要ありません。
- で構成される行列Bが与えられたと仮定します。 NS NS NS 要素（m行n列）の場合、転置行列Bは次のセットになります。 NS NS NS 要素（n行m列）。
- 各要素についてb_xy （ライン NS および列 y）行列Bの行列Bには、同等の要素bが存在します。_yx （ライン y および列 NS).

パート2/3：転置プロパティ

1 （NS = M。 二重転置後、元の行列が取得されます。再転置すると、行と列が再び変更され、元の行列になるため、これは非常に明白です。
2 主対角線の周りにマトリックスをミラーリングします。 正方行列は、主対角線に対して「反転」させることができます。さらに、主対角線に沿った要素（₁₁ マトリックスの右下隅まで）は所定の位置に留まり、残りの要素はこの対角線の反対側に移動し、対角線から同じ距離に留まります。
- この方法を想像するのが難しい場合は、一枚の紙を取り、4x4のマトリックスを描きます。次に、主対角線を基準にして側面要素を再配置します。同時に、要素をトレースします₁₄ と₄₁..。転置する場合は、他のサイドエレメントのペアと同様に交換する必要があります。
3 対称行列を転置します。 このような行列の要素は、主対角線に関して対称です。上記の操作を実行して対称行列を「反転」しても、変更されません。すべての要素が同様の要素に変更されます。実際、これは、特定の行列が対称であるかどうかを判断するための標準的な方法です。等式A = Aが成り立つ場合、行列Aは対称です。

パート3/3：複素数要素を持つエルミート共役行列

1 複雑な行列を考えてみましょう。 複素行列の要素は、実数部と虚数部で構成されています。このような行列は転置することもできますが、ほとんどの実際のアプリケーションでは、共役転置行列またはエルミート共役行列が使用されます。
- 行列C =が与えられているとします。
  2+NS 3-2NS
  0+NS 5+0NS
2 要素を複素共役数に置き換えます。 複素共役の演算では、実数部は同じままで、虚数部はその符号を反対に変更します。行列の4つの要素すべてでこれを実行しましょう。
- 複素共役行列を見つけるC * =
  2-NS 3+2NS
  0-NS 5-0NS
3 結果の行列を転置します。 見つかった複素共役行列を取得し、単純に転置します。その結果、共役転置（エルミート共役）行列が得られます。
- 共役転置行列C =
  2-NS 0-NS
  3+2NS 5-0NS

チップ

この記事では、行列Aに対して転置された行列をAと表記します。表記A 'またはÃもあります。
この記事では、行列Aに関するエルミート共役行列をAと表記します。これは、線形代数の一般的な表記法です。量子力学では、表記Aがよく使用されます。エルミート共役行列がA *の形式で記述されることもありますが、複素共役行列の記述にも使用されるため、この表記は避けることをお勧めします。