行列を解く

コンテンツ

ステップに
パート1/4：マトリックスの作成
パート2/4：行列を使用してシステムを解くための操作を学習する
パート3/4：銀河を解決するためのステップをマージする
パート4/4：ソリューションの確認
チップ

行列は、ブロック形式で数値を表す非常に便利な方法であり、線形方程式のシステムを解くために使用できます。変数が2つしかない場合は、別の方法を使用する可能性があります。これらの他の方法の例については、連立方程式の解法でこれについて読んでください。ただし、変数が3つ以上ある場合は、配列が理想的です。乗算と加算を繰り返し組み合わせて使用することで、体系的に解決策にたどり着くことができます。

ステップに

パート1/4：マトリックスの作成

十分なデータがあることを確認してください。 行列を使用して線形システムのすべての変数に対して一意の解を得るには、解こうとしている変数の数と同じ数の方程式が必要です。例：変数x、y、zを使用するには、3つの方程式が必要です。 4つの変数がある場合、4つの方程式が必要です。
- 変数の数よりも方程式が少ない場合、変数のいくつかの境界（x = 3yやy = 2zなど）がわかりますが、正確な解を得ることができません。この記事では、独自のソリューションに向けてのみ取り組みます。
方程式を標準形式で記述します。 方程式のデータを行列形式で入力する前に、まず各方程式を標準形式で記述します。一次方程式の標準形式はAx + By + Cz = Dです。ここで、大文字は係数（数値）であり、最後の数値（この例ではD）は等号の右側にあります。
- さらに変数がある場合は、必要なだけ行を続けてください。たとえば、6つの変数を使用してシステムを解こうとした場合、デフォルトの形状はAu + Bv + Cw + Dx + Ey + Fz = Gのようになります。この記事では、変数が3つしかないシステムに焦点を当てます。より大きな銀河を解くことはまったく同じですが、より多くの時間とより多くのステップが必要です。
- 標準形式では、用語間の操作は常に加算であることに注意してください。方程式に加算ではなく減算がある場合は、後で係数を負にすることでこれを処理する必要があります。これを覚えやすくするために、方程式を書き直して演算を追加し、係数を負にすることができます。たとえば、方程式3x-2y + 4z = 1を3x +（-2y）+ 4z = 1と書き直すことができます。
連立方程式の数値を行列に配置します。 行列は、一種のテーブルに配置された数値のグループであり、システムを解決するために使用します。基本的に、方程式自体と同じデータが含まれていますが、より単純な形式です。方程式の行列を標準形式にするには、各方程式の係数と結果を1つの行にコピーし、それらの行を互いに積み重ねるだけです。
- 3x + y-z = 9、2x-2y + z = -3、およびx + y + z = 7の3つの方程式で構成されるシステムがあるとします。行列の一番上の行には、数値3、1、-1、9が含まれます。これらは、最初の方程式の係数と解です。係数を持たない変数は、係数が1であると想定されることに注意してください。行列の2番目の行は2、-2、1、-3になり、3番目の行は1、1、1、7になります。
- 最初の列のx係数、2番目の列のy係数、3番目の列のz係数、および4番目の列の解の項を必ず揃えてください。マトリックスの操作が終了したら、ソリューションを作成するときにこれらの列が重要になります。
マトリックス全体の周りに大きな角括弧を描きます。 慣例により、行列は、数値のブロック全体を囲む1対の角括弧[]で示されます。角かっこはソリューションにまったく影響を与えませんが、行列を操作していることを示します。行列は、任意の数の行と列で構成できます。この記事では、用語の前後に括弧を使用して、それらが一緒に属していることを示します。
一般的な象徴の使用。 行列を操作する場合、略語Rの行と略語Cの列を参照するのが一般的です。これらの文字と一緒に数字を使用して、特定の行または列を示すことができます。たとえば、行列の行1を示すために、R1と書くことができます。次に、行2がR2になります。
- RとCの組み合わせを使用して、マトリックス内の特定の位置を示すことができます。たとえば、2行3列の用語を示すために、R2C3と呼ぶことができます。

パート2/4：行列を使用してシステムを解くための操作を学習する

ソリューションマトリックスの形状を理解します。 連立方程式を解き始める前に、行列をどうするかを理解する必要があります。この時点で、次のような行列ができています。
- 3 1 -1 9
- 2 -2 1 -3
- 1 1 1 7
- いくつかの基本的な操作を使用して、「ソリューションマトリックス」を作成します。ソリューションマトリックスは次のようになります。
- 1 0 0 x
- 0 1 0 y
- 0 0 1 z
- マトリックスは対角線の1で構成され、4番目の列を除く他のすべてのスペースは0であることに注意してください。 4番目の列の数値は、変数x、y、およびzの解です。
スカラー乗法を使用します。 行列を使用してシステムを解くために自由に使える最初のツールは、スカラー乗法です。これは単に、行列の行の要素に定数（変数ではない）を掛けることを意味する用語です。スカラー乗算を使用する場合は、行全体の各項に、選択した数値を乗算する必要があることに注意してください。最初の項を忘れて乗算するだけでは、間違った解が得られます。ただし、マトリックス全体を同時に乗算する必要はありません。スカラー乗法では、一度に1つの行のみを処理します。
- 1の対角行を取得したい場合が多いため、スカラー乗法では分数を使用するのが一般的です。分数の操作に慣れてください。また、分数を不適切な形式で記述し、それらを混合数に変換して最終的な解を得ることができるようになると（行列を解くほとんどのステップで）簡単になります。したがって、5/3と書くと、12/3という数字の方が扱いやすくなります。
- たとえば、問題例の最初の行（R1）は、用語[3,1、-1,9]で始まります。解行列には、最初の行の最初の位置に1が含まれている必要があります。 3を1に「変更」するには、行全体に1/3を掛けます。これにより、[1,1 / 3、-1 / 3,3]の新しいR1が作成されます。
- それらが属する場所に負の符号を残すようにしてください。
行の加算または行の減算を使用します。 使用できる2番目のツールは、行列の2行を加算または減算することです。ソリューションマトリックスに0項を作成するには、0に到達するために数値を加算または減算する必要があります。たとえば、R1が行列[1,4,3,2]で、R2が[1,3,5,8]の場合、2番目の行から最初の行を減算して新しい行[0、 -1、2.6]、1-1 = 0（最初の列）、3-4 = -1（2番目の列）、5-3 = 2（3番目の列）、および8-2 = 6（4番目の列）であるため。行の加算または行の減算を実行するときは、最初の行ではなく、新しい結果を書き直してください。この場合、行2を抽出し、新しい行[0、-1,2,6]を挿入します。
- 省略表記を使用して、このアクションをR2-R1 = [0、-1,2,6]として宣言できます。
- 足し算と引き算は同じ操作の正反対の形式であることを忘れないでください。 2つの数値を加算するか、その逆を減算することと考えてください。たとえば、単純な方程式3-3 = 0から始める場合、これは3 +（-3）= 0の加算問題と考えることができます。結果は同じです。これは単純に思えますが、何らかの形で問題を検討する方が簡単な場合があります。ただあなたの否定的な兆候に目を離さないでください。
行の加算とスカラー乗法を1つのステップで組み合わせます。 項が常に一致するとは限らないため、単純な加算または減算を使用して、行列に0を作成できます。多くの場合、別の行から倍数を加算（または減算）する必要があります。これを行うには、最初にスカラー乗算を実行し、次にその結果を変更しようとしているターゲット行に追加します。
- 仮定します。 [1,1,2,6]の行1と[2,3,1,1]の行2があること。 R2の最初の列に0の項が必要です。つまり、2を0に変更する必要があります。これを行うには、2を減算する必要があります。最初に行1にスカラー乗算2を乗算し、次に2番目の行から最初の行を減算することで2を取得できます。簡単に言うと、これはR2-2 * R1と書き留めることができます。まず、R1に2を掛けて、[2,2,4,12]を取得します。次に、これをR2から減算して、[（2-2）、（3-2）、（1-4）、（1-12）]を取得します。これを単純化すると、新しいR2は[0,1、-3、-11]になります。
作業中に変更されないままの行をコピーします。 行列で作業するときは、スカラー乗法、行の加算、行の減算、またはステップの組み合わせのいずれかによって、一度に1つの行を変更します。 1つの行を変更するときは、マトリックスの他の行を元の形式でコピーしてください。
- 1回の移動で乗算と加算のステップを組み合わせて実行すると、一般的なエラーが発生します。たとえば、R2からR1を2回引く必要があるとします。このステップを実行するためにR1に2を掛けるとき、R1は行列内で変化しないことに注意してください。 R2を変更するために乗算を行うだけです。最初にR1を元の形式でコピーしてから、R2に変更を加えます。
上から下への最初の作業。 システムを解決するには、非常に組織化されたパターンで作業します。基本的に、一度に1つの行列の項を「解決」します。 3変数配列のシーケンスは次のようになります。
- 1.最初の行、最初の列（R1C1）に1を作成します。
- 2. 2行目、1列目（R2C1）に0を付けます。
- 3. 2行2列目（R2C2）に1を付けます。
- 4. 3行1列目（R3C1）に0を付けます。
- 5. 3行2列目（R3C2）に0を付けます。
- 6. 3行3列目（R3C3）に1を付けます。
下から上に戻ります。 この時点で、手順を正しく実行した場合は、ソリューションの途中です。 1の対角線が必要で、その下に0があります。この時点では、4番目の列の数値は重要ではありません。ここで、次のようにトップに戻ります。
- 2行3列目（R2C3）に0を作成します。
- 最初の行、3番目の列（R1C3）に0を作成します。
- 最初の行、2番目の列（R1C2）に0を作成します。
ソリューションマトリックスを作成したかどうかを確認します。 作業が正しければ、R1C1、R2C2、R3C3の対角線に1があり、最初の3列の他の位置に0がある解行列が作成されています。 4番目の列の数値は、線形システムのソリューションです。

パート3/4：銀河を解決するためのステップをマージする

線形方程式のシステム例から始めます。 これらの手順を実行するために、前に使用したシステム（3x + y-z = 9、2x-2y + z = -3、およびx + y + z = 7）から始めましょう。これを行列に書くと、R1 = [3,1、-1,9]、R2 = [2、-2,1、-3]、R3 = [1,1,1,7]になります。
最初の位置R1C1に1を作成します。 この時点でR1は3で始まることに注意してください。1に変更する必要があります。これは、R1の4つの項すべてに1/3を掛けるスカラー乗法で行うことができます。簡単に言うと、R1 * 1/3と書くことができます。これにより、R1 = [1,1 / 3、-1 / 3,3]の場合、R1の新しい結果が得られます。 R2 = [2、-2,1、-3]およびR3 = [1,1,1,7]の場合、R2とR2を変更せずにコピーします。
- 乗算と除算は互いに逆関数にすぎないことに注意してください。結果を変えずに、1/3を掛けたり3で割ったりすると言えます。
2行1列目（R2C1）に0を作成します。 この時点で、R2 = [2、-2,1、-3]。解の行列に近づくには、最初の項を2から0に変更する必要があります。R1は1で始まるため、R1の値の2倍を引くことでこれを行うことができます。 R1。 R1は変更せず、そのまま使用することを忘れないでください。したがって、R1 = [1,1 / 3、-1 / 3,3]の場合、最初にR1をコピーします。次に、R1の各項を2倍にすると、2 * R1 = [2,2 / 3、-2 / 3,6]になります。最後に、元のR2からこの結果を差し引いて、新しいR2を取得します。項ごとに、この減算は（2-2）、（-2-2 / 3）、（1-（-2/3））、（-3-6）になります。これらを新しいR2 = [0、-8 / 3,5 / 3、-9]に単純化します。最初の項は0であることに注意してください（あなたの目標が何であれ）。
- 行3（変更されていない）をR3 = [1,1,1,7]として書き込みます。
- 負の数を引くときは、符号が正しいことを確認するように注意してください。
- まず、分数を不適切な形式のままにしておきましょう。これにより、ソリューションの後のステップが簡単になります。問題の最後のステップで分数を単純化できます。
2行2列目（R2C2）に1を作成します。 1の対角線を形成し続けるには、第2項-8/3を1に変換する必要があります。これを行うには、行全体にその数の逆数（-3/8）を掛けます。象徴的に、このステップはR2 *（-3/8）です。結果の2番目の行はR2 = [0.1、-5 / 8.27 / 8]です。
- 行の左半分が0と1の解に似始めた場合、右半分は不適切な分数で見苦しくなり始める可能性があることに注意してください。今のところはそのままにしておきます。
- 手つかずの行をコピーし続けることを忘れないでください。したがって、R1 = [1,1 / 3、-1 / 3,3]およびR3 = [1,1,1,7]です。
3行1列目（R3C1）に0を作成します。 これで、フォーカスが3番目の行R3 = [1,1,1,7]に移動します。最初の位置に0を作成するには、現在その位置にある1から1を引く必要があります。見上げると、R1の最初の位置に1があります。したがって、必要な結果を得るには、R3からR1を引く必要があります。期間の有効期間、これは（1-1）、（1-1 / 3）、（1-（-1/3））、（7-3）になります。これらの4つの小さな問題は、新しいR3 = [0.2 / 3.4 /3.4]に簡略化できます。
- R1 = [1.1 / 3、-1 /3.3]およびR2 = [0.1、-5 / 8.27 / 8]に沿ってコピーを続けます。一度に変更できるのは1行だけであることを忘れないでください。
3行2列目（R3C2）に0を付けます。 この値は現在2/3ですが、0に変換する必要があります。R1の対応する列には1/3が含まれているため、一見するとR1の値を2倍減算できるように見えます。ただし、R1のすべての値を2倍にして減算すると、R3の最初の列の0が変更されますが、これは望ましくありません。これは、ソリューションの一歩後退になります。したがって、R2のいくつかの組み合わせで作業する必要があります。 R2から2/3を引くと、最初の列を変更せずに、2番目の列に0が作成されます。短い形式では、これはR3-2 / 3 * R2です。個々の項は（0-0）、（2 / 3-2 / 3）、（4/3-（-5/3 * 2/3））、（4-27 / 8 * 2/3）になります。単純化すると、R3 = [0,0,42 / 24,42 / 24]になります。
3行3列目（R3C3）に1を作成します。 これは、それが言う数の逆数による単純な乗算です。現在の値は42/24なので、24/42を掛けて、必要な値を取得できます1。最初の2つの項は両方とも0であるため、乗算は0のままであることに注意してください。R3の新しい値= [0,0,1,1]。
- 前のステップで非常に複雑に見えた部分は、すでに解決し始めていることに注意してください。
- R1 = [1.1 / 3、-1 /3.3]およびR2 = [0.1、-5 / 8.27 / 8]に進みます。
- この時点で、解行列の対角線が1になっていることに注意してください。解を見つけるには、行列の3つの要素を0に変換するだけです。
2行3列目に0を作成します。 R2は現在[0.1、-5 / 8.27 / 8]であり、3番目の列の値は-5/8です。これを0に変換する必要があります。これは、5/8を追加することで構成されるR3で何らかの操作を実行する必要があることを意味します。 R3の対応する3番目の列は1であるため、R3のすべての値に5/8を掛けて、その結果をR2に追加する必要があります。要するに、これはR2 + 5/8 * R3です。用語の用語これはR2 =（0 + 0）、（1 + 0）、（-5/8 + 5/8）、（27/8 + 5/8）です。これは、R2 = [0,1,0,4]に簡略化できます。
- 次に、R1 = [1,1 / 3、-1 / 3,3]およびR3 = [0,0,1,1]をコピーします。
最初の行、3番目の列（R1C3）に0を作成します。 現在、最初の行はR1 = [1,1 / 3、-1 / 3,3]です。 R3の組み合わせを使用して、3番目の列の-1/3を0に変換する必要があります。 R2の2番目の列の1は、R1を間違った方法で変更するため、R2は使用しません。したがって、R3 * 1/3を乗算し、その結果をR1に加算します。この表記はR1 + 1/3 * R3です。用語の精緻化の用語は、R1 =（1 + 0）、（1/3 + 0）、（-1/3 + 1/3）、（3 + 1/3）になります。これを単純化して、新しいR1 = [1,1 / 3,0,10 / 3]にすることができます。
- 変更されていないR2 = [0,1,0,4]およびR3 = [0,0,1,1]をコピーします。
最初の行、2番目の列（R1C2）で0を作成します。 すべてが正しく行われている場合、これが最後のステップになります。 2番目の列の1/3を0に変換する必要があります。これは、R2 * 1/3を乗算および減算することで取得できます。簡単に言うと、これはR1-1 / 3 * R2です。結果は、R1 =（1-0）、（1 / 3-1 / 3）、（0-0）、（10 / 3-4 / 3）です。単純化すると、R1 = [1,0,0,2]になります。
解の行列を検索します。 この時点で、すべてがうまくいけば、3つの行R1 = [1,0,0,2]、R2 = [0,1,0,4]、およびR3 = [0,0,1,1]になります。持たなければならない。これをブロック行列形式で行を上下に並べて書くと、対角線の1と0がさらにあり、解は4番目の列にあることに注意してください。ソリューションマトリックスは次のようになります。
- 1 0 0 2
- 0 1 0 4
- 0 0 1 1
ソリューションを理解する。 一次方程式を行列に変換した後、最初の列にx係数、2番目の列にy係数、3番目の列にz係数を配置します。行列を再び方程式に書き直したい場合、行列のこれらの3行は、実際には3つの方程式1x + 0y + 0z = 2、0x + 1y + 0z = 4、および0x + 0y + 1z = 1を意味します。 0項を消すことができ、1係数を記述する必要がないため、これらの3つの方程式は、x = 2、y = 4、およびz = 1の解に単純化されます。これは、連立一次方程式の解です。

パート4/4：ソリューションの確認

各方程式の各変数に解を含めます。 ソリューションが実際に正しいことを確認することは常に良い考えです。これを行うには、元の方程式で結果をテストします。
- この問題の元の方程式は、3x + y-z = 9、2x-2y + z = -3、およびx + y + z = 7でした。変数を見つけた値に置き換えると、3 * 2 + 4-1 = 9、2 * 2-2 * 4 + 1 = -3、および2 + 4 + 1 = 7になります。
比較を単純化します。 操作の基本的なルールに従って、各方程式の操作を実行します。最初の式は、6 + 4-1 = 9、または9 = 9に簡略化されます。 2番目の式は、4-8 + 1 = -3、または-3 = -3に簡略化できます。最後の方程式は単純に7 = 7です。
- どの方程式も真の数学ステートメントに単純化されるので、あなたの解は正しいです。いずれかの解決策が正しくない場合は、作業をもう一度確認して、エラーがないか調べてください。途中でマイナス記号を削除したり、分数の乗算と加算を混乱させたりすると、よくある間違いがいくつか発生します。
最終的な解決策を書きます。 この与えられた問題の場合、最終的な解決策はx = 2、y = 4、z = 1です。