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• ステップ
• 方法1/3：定数項なしで3次方程式を解く方法
• 方法2/3：乗数を使用して根全体を見つける方法
• 方法3/3：判別式を使用して方程式を解く方法

三次方程式では、最高の指数は3です。このような方程式には、3つの根（解）があり、次の形式になります。 ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$..。一部の三次方程式は解くのがそれほど簡単ではありませんが、適切な方法を適用すると（理論的背景が良好な場合）、最も複雑な三次方程式の根を見つけることができます-これには、二次方程式を解くための式を使用して、根全体、または判別式を計算します。

ステップ

方法1/3：定数項なしで3次方程式を解く方法

1. 1 三次方程式に自由項があるかどうかを調べます NS{ displaystyle d}. 三次方程式の形式は ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$..。方程式が3次と見なされるには、次の項のみで十分です。 ${ displaystyle x ^ {3}}$ （つまり、他のメンバーがまったくいない可能性があります）。
   • 方程式に自由項がある場合 ${ displaystyle d}$、別の方法を使用します。
   • 方程式の場合 ${ displaystyle a = 0}$、それは立方体ではありません。
2. 2 ブラケットから取り出します NS{ displaystyle x}. 方程式には自由項がないため、方程式の各項には変数が含まれます ${ displaystyle x}$..。これは、 ${ displaystyle x}$ 方程式を単純化するために、括弧から除外することができます。したがって、方程式は次のように記述されます。 ${ displaystyle x（ax ^ {2} + bx + c）}$.
   • たとえば、三次方程式が与えられた ${ displaystyle 3x ^ {3} -2x ^ {2} + 14x = 0}$
   • テイクアウト ${ displaystyle x}$ 角かっこと取得 ${ displaystyle x（3x ^ {2} -2x + 14）= 0}$
3. 3 因数分解（2つの二項式の積）二次方程式（可能な場合）。 次の形式の多くの2次方程式 ${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ 因数分解することができます。このような方程式は、私たちが取り出すとわかります ${ displaystyle x}$ 角かっこの外側。この例では：
   • ブラケットから取り出します ${ displaystyle x}$: ${ displaystyle x（x ^ {2} + 5x-14）= 0}$
   • 二次方程式を因数分解します。 ${ displaystyle x（x + 7）（x-2）= 0}$
   • 各ビンを ${ displaystyle 0}$..。この方程式の根は次のとおりです。 ${ displaystyle x = 0、x = -7、x = 2}$.
4. 4 特別な式を使用して二次方程式を解きます。 二次方程式を因数分解できない場合は、これを実行します。方程式の2つの根を見つけるために、係数の値 ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ 式に代入する ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$.
   • この例では、係数の値を代入します ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ (${ displaystyle 3}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle 14}$）式に：

     ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

     ${ displaystyle { frac {-（-2） pm { sqrt {（（-2）^ {2} -4（3）（14）}}} {2（3）}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {4-（12）（14）}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {（4-168}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {-164}}} {6}}}$

   • 最初のルート：

     ${ displaystyle { frac {2 + { sqrt {-164}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 + 12,8i} {6}}}$

   • 2番目のルート：

     ${ displaystyle { frac {2-12,8i} {6}}}$

5. 5 三次方程式の解として、零点と二次根を使用します。 二次方程式には2つの根があり、三次方程式には3つの根があります。あなたはすでに2つの解決策を見つけました-これらは二次方程式の根です。角かっこの外側に「x」を付けると、3番目の解決策は次のようになります。 ${ displaystyle 0}$.
   • 角かっこから「x」を外すと、 ${ displaystyle x（ax ^ {2} + bx + c）= 0}$、つまり、2つの要因： ${ displaystyle x}$ 括弧内の二次方程式。これらの要因のいずれかが ${ displaystyle 0}$、方程式全体も次のようになります ${ displaystyle 0}$.
   • したがって、2次方程式の2つの根は、3次方程式の解です。 3番目の解決策は ${ displaystyle x = 0}$.

方法2/3：乗数を使用して根全体を見つける方法

1. 1 三次方程式に自由項があることを確認してください NS{ displaystyle d}. 次の形式の方程式の場合 ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$ 無料会員がいます ${ displaystyle d}$ （これはゼロに等しくありません）、括弧の外側に「x」を置くことは機能しません。この場合、このセクションで概説されている方法を使用してください。
   • たとえば、三次方程式が与えられた ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x = -6}$..。方程式の右辺をゼロにするには、次を追加します。 ${ displaystyle 6}$ 方程式の両側に。
   • 方程式は次のようになります ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x + 6 = 0}$..。として ${ displaystyle d = 6}$、最初のセクションで説明した方法は使用できません。
2. 2 係数の係数を書き留めます NS{ displaystyle a} と無料会員 NS{ displaystyle d}. つまり、で数の因子を見つけます ${ displaystyle x ^ {3}}$ 等号の前の数字。数の因数は、乗算するとその数を生成する数であることを思い出してください。
   • たとえば、番号を取得するには 6、乗算する必要があります ${ displaystyle 6 times 1}$ と ${ displaystyle 2 times 3}$..。だから数字 1, 2, 3, 6 数の要因です 6.
   • 私たちの方程式では ${ displaystyle a = 2}$ と ${ displaystyle d = 6}$..。乗数 2 それは 1 と 2..。乗数 6 数字です 1, 2, 3 と 6.
3. 3 各要素を分割する NS{ displaystyle a} 各要因について NS{ displaystyle d}. その結果、多くの分数といくつかの整数が得られます。三次方程式の根は、整数の1つ、または整数の1つの負の値になります。
   • この例では、因子を除算します ${ displaystyle a}$ (1 と 2）要因による ${ displaystyle d}$ (1, 2, 3 と 6）。あなたが得るでしょう： ${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$ と ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$..。次に、取得した分数と数値の負の値をこのリストに追加します： ${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle -1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle-{ frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle-{ frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle-{ frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$ と ${ displaystyle-{ frac {2} {3}}}$..。三次方程式の根全体は、このリストのいくつかの数値です。
4. 4 整数を三次方程式に代入します。 等式が真の場合、置換された数は方程式の根です。たとえば、方程式に代入します ${ displaystyle 1}$:
   • ${ displaystyle 2（1）^ {3} +9（1）^ {2} +13（1）+6}$ = ${ displaystyle 2 + 9 + 13 + 6}$ ≠0、つまり、同等性は観察されません。この場合、次の番号を接続します。
   • 代わりの ${ displaystyle -1}$: ${ displaystyle（-2）+9 +（-13）+6}$ = 0。したがって、 ${ displaystyle -1}$ 方程式の根全体です。
5. 5 多項式を除算する方法を使用します ホーナー法方程式の根をより速く見つけるために。 数式に手動で数値を代入したくない場合は、これを実行します。ホーナー法では、整数は方程式の係数の値で除算されます ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ と ${ displaystyle d}$..。数値が均等に割り切れる場合（つまり、余りは ${ displaystyle 0}$）、整数は方程式の根です。
   • ホーナーのスキームは別の記事に値しますが、以下はこのスキームを使用して三次方程式の根の1つを計算する例です。

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • 残りは ${ displaystyle 0}$、 しかし ${ displaystyle -1}$ 方程式の根の1つです。

方法3/3：判別式を使用して方程式を解く方法

1. 1 方程式の係数の値を書き留めます NS{ displaystyle a}, NS{ displaystyle b}, NS{ displaystyle c} と NS{ displaystyle d}. 将来混乱しないように、指定された係数の値を事前に書き留めておくことをお勧めします。
   • たとえば、次の方程式が与えられます ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x-1}$..。書き留める ${ displaystyle a = 1}$, ${ displaystyle b = -3}$, ${ displaystyle c = 3}$ と ${ displaystyle d = -1}$..。以前の場合はそれを思い出してください ${ displaystyle x}$ 数がなく、対応する係数がまだ存在し、等しい ${ displaystyle 1}$.
2. 2 特別な式を使用してゼロ判別式を計算します。 判別式を使用して三次方程式を解くには、多くの難しい計算を実行する必要がありますが、すべての手順を正しく実行すると、最も複雑な三次方程式を解くためにこの方法が不可欠になります。最初の計算 ${ displaystyle Delta _ {0}}$ （判別式ゼロ）は、最初に必要な値です。これを行うには、式の対応する値を代入します ${ displaystyle Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}$.
   • 判別式は、多項式の根を特徴付ける数です（たとえば、2次方程式の判別式は次の式で計算されます。 ${ displaystyle b ^ {2} -4ac}$).
   • 私たちの方程式では：

     ${ displaystyle b ^ {2} -3ac}$

     ${ displaystyle（-3）^ {2} -3（1）（3）}$

     ${ displaystyle 9-3（1）（3）}$

     ${ displaystyle 9-9 = 0 = Delta _ {0}}$

3. 3 式を使用して最初の判別式を計算します Δ1=2NS3−9NSNSNS+27NS2NS{ displaystyle Delta _ {1} = 2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d}. 最初の判別式 ${ displaystyle Delta _ {1}}$ -これは2番目に重要な値です。それを計算するには、対応する値を指定された式に接続します。
   • 私たちの方程式では：

     ${ displaystyle 2（-3）^ {3} -9（1）（-3）（3）+27（1）^ {2}（-1）}$

     ${ displaystyle 2（-27）-9（-9）+27（-1）}$

     ${ displaystyle -54 + 81-27}$

     ${ displaystyle 81-81 = 0 = Delta _ {1}}$

4. 4 計算：${ displaystyle Delta =（ Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}） div -27a ^ {2}}$..。つまり、得られた値から三次方程式の判別式を見つけます。 ${ displaystyle Delta _ {0}}$ と ${ displaystyle Delta _ {1}}$..。三次方程式の判別式が正の場合、方程式には3つの根があります。判別式がゼロの場合、方程式には1つまたは2つの根があります。判別式が負の場合、方程式には1つの根があります。
   • この方程式のグラフは少なくとも1つの点でX軸と交差するため、3次方程式には常に少なくとも1つの根があります。
   • 私たちの方程式では ${ displaystyle Delta _ {0}}$ と ${ displaystyle Delta _ {1}}$ 等しいです ${ displaystyle 0}$、簡単に計算できます ${ displaystyle Delta}$:

     ${ displaystyle（ Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}） div（-27a ^ {2}）}$

     ${ displaystyle（（0）^ {2} -4（0）^ {3}） div（-27（1）^ {2}）}$

     ${ displaystyle 0-0 div 27}$

     ${ displaystyle 0 = Delta}$..。したがって、私たちの方程式には1つまたは2つの根があります。

5. 5 計算：${ displaystyle C = ^ {3} { sqrt { left（{ sqrt { Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}}} + Delta _ {1 } right） div 2}}}$. ${ displaystyle C}$ -これは、見つかった最後の重要な量です。方程式の根を計算するのに役立ちます。指定された式に値を代入します ${ displaystyle Delta _ {1}}$ と ${ displaystyle Delta _ {0}}$.
   • 私たちの方程式では：

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {（ Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}）+ Delta _ {1}}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {（0 ^ {2} -4（0）^ {3}）+（0）}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {（0-0）+0}} div 2}}}$

     ${ displaystyle 0 = C}$

6. 6 方程式の3つの根を見つけます。 式でそれを行う ${ displaystyle-（b + u ^ {n} C + Delta _ {0} div（u ^ {n} C）） div 3a}$、 どこ ${ displaystyle u =（-1 + { sqrt {-3}}） div 2}$、 しかし NS に等しい 1, 2 また 3..。この式に適切な値を代入します-その結果、方程式の3つの根が得られます。
   • 次の式を使用して値を計算します。 NS = 1, 2 また 3そして答えを確認してください。答えを確認したときに0が得られた場合、この値が方程式の根になります。
   • この例では、 1 NS ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x-1}$ 取得します 0、 NS 1 方程式の根の1つです。