数学的証明を行う方法

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ステップ
方法1/3：問題の説明を理解する
方法2/3：証明を作成する
方法3/3：証拠を書き留める
チップ

数学的な証明を見つけることは困難な作業になる可能性がありますが、数学を知り、証明を書くことはあなたを助けます。残念ながら、数学の問題を解決する方法を学ぶための迅速で簡単な方法はありません。主題を適切に研究し、特定の数学的仮定を証明するときに役立つ基本的な定理と定義を覚えておく必要があります。数学的証明の例を研究し、スキルを向上させるために自分で練習してください。

ステップ

方法1/3：問題の説明を理解する

1 あなたが見つけたいものを決定します。 最初のステップは、正確に何を証明する必要があるかを理解することです。とりわけ、これはあなたの証明の最後のステートメントを決定します。この段階で、作業する特定の仮定も行う必要があります。問題をよりよく理解して解決を開始するには、何を証明する必要があるかを見つけ、必要な仮定を立てます。
2 図面を描きます。 数学の問題を解くとき、絵や図の形でそれらを描くことが役立つ場合があります。これは、幾何学的な問題の場合に特に重要です。図面は、状態を視覚化するのに役立ち、解決策の検索を大幅に容易にします。
- 写真や図を作成するときは、条件で提供されたデータを使用してください。図の既知および未知の量をマークします。
- 図面を使用すると、証拠を見つけやすくなります。
3 同様の定理の証明を研究します。 すぐに解決策が見つからない場合は、同様の定理を見つけて、それらがどのように証明されるかを確認してください。
- 証明の各ステップの理由を説明する必要があることに注意してください。インターネットや数学の教科書でさまざまな定理がどのように証明されているかをご覧ください。
4 質問をする。 すぐに証拠を見つけられなくても大丈夫です。不明な点がある場合は、先生やクラスメートに聞いてください。おそらくあなたの仲間は同じ質問をしていて、あなたはそれらを一緒に整理することができます。何度も何度も証拠を見つけようとして失敗するよりも、いくつかの質問をする方がよいでしょう。
- レッスンが終わったら先生のところに行き、不明な質問があれば見つけてください。

方法2/3：証明を作成する

1 数学的証明を作成します。 数学的証明は、数学的仮説を証明する定理と定義によってサポートされる一連のステートメントです。証明は、ステートメントが数学的に正しいかどうかを判断する唯一の方法です。
- 数学的証明を書き留める能力は、問題を深く理解し、必要なツール（補題、定理、定義）を習得していることを証明します。
- 厳密な証明は、数学を新たに見直し、その魅力を感じるのに役立ちます。数学的な方法のアイデアを得るためにステートメントを証明してみてください。
2 あなたの聴衆を考慮してください。 証拠の記録を開始する前に、それが誰のためであるかを考え、これらの人々の知識のレベルを考慮に入れる必要があります。科学雑誌にさらに掲載するための証拠を書き留めると、学校の宿題をしているときとは異なります。
- あなたのターゲットオーディエンスを知ることはあなたがそれを理解するためにあなたの読者を訓練している間あなたが証拠を書き留めることを可能にするでしょう。
3 証明の種類を決定します。 数学的証明にはいくつかの種類があり、特定の形式の選択は、対象読者と解決される問題によって異なります。どの種を選ぶべきかわからない場合は、先生に確認してください。高校では、2列の証明が必要です。
- 2つの列に証拠を書き込む場合、1つは初期データとステートメントを記録し、もう1つはこれらのステートメントの対応する証拠を記録します。この形式の表記法は、幾何学的問題を解決するときによく使用されます。
- 証拠を書くためのあまり正式ではない方法では、文法的に正しい構造とより少ない記号が使用されます。より高いレベルでは、これは使用されるべき表記法です。
4 証明を2列でスケッチします。 このフォームは、考えを整理し、一貫して問題を解決するのに役立ちます。ページを縦線で半分に分割し、左側に元のデータとそれに続くステートメントを書き込みます。各ステートメントの右側に、対応する定義と定理を書き留めます。
- 例えば：
- コーナーAとBは隣接しています-与えられた;
- 角度ABCは平坦化されています-平坦化されたコーナーを定義します。
- 角度ABCは180°です-直線を定義します。
- 角度A +角度B =角度ABC-角度を追加するためのルール。
- 角度A +角度B = 180°-置換;
- 角度Aは角度Bを補完します-追加の角度の定義。
- Q.E.D.
5 非公式の証明として2列の証明を書き留めます。 基礎として2列のエントリを使用し、記号や略語の少ない短い形式で証明を記述します。
- 例：コーナーAとBが隣接しているとします。仮説によれば、これらの角度は互いに補完し合っています。隣接する場合、角度Aと角度Bは直線を形成します。角の側面が直線を形成する場合、角度は180°です。角度AとBを追加して、直線ABCを作成します。したがって、角度AとBの合計は180°です。つまり、これらの角度は相補的です。 Q.E.D.

方法3/3：証拠を書き留める

1 証拠の言語を学びます。 標準的なステートメントとフレーズは、数学的な証明を書くために使用されます。あなたはこれらのフレーズを学び、それらの使い方を知る必要があります。
- 「IfA、then B」という句は、ステートメントAが真の場合、ステートメントBも真でなければならないことを意味します。
- 「Aifand only if B」は、ステートメントAとBが同時に真または偽のいずれかであることを意味します。この構成は、「Aの場合はB」と「Aが失敗した場合はBは成り立たない」という2つの同時ステートメントに相当します。
- 「Bの場合のみA」は「Bの場合A」と同等であるため、この構造は一般的ではありません。それにもかかわらず、それについて覚えておく必要があります。
- 証拠を記録するときは、人称代名詞「I」の代わりに「we」を使用するようにしてください。
2 元のデータをすべて書き留めます。 証明をコンパイルするとき、最初にすべきことは、問題で与えられているすべてのものを定義して書き出すことです。この場合、あなたはあなたの目の前にすべての初期データを持っているでしょう、それに基づいて決定を得る必要があります。問題の説明を注意深く読み、そこに記載されているすべてを書き留めます。
- 例：2つの隣接する角度（角度Aと角度B）が互いに補完し合うことを証明します。
- 与えられた：隣接するコーナーAとB。
- 証明：角度Aは角度Bを補完します。
3 すべての変数を定義します。 元のデータを記録することに加えて、残りの変数を書き出すことも役立ちます。読者が読みやすくするために、証明の最初に変数を書き留めます。変数が定義されていない場合、読者は混乱し、あなたの証明を理解できない可能性があります。
- 証明中に、以前に定義されていない変数を使用しないでください。
- 例：上記で検討した問題では、変数は角度AとBの値です。
4 逆の順序で証明を見つけてください。 多くの問題は、逆の順序で解決する方が簡単です。証明する必要があることから始めて、結論を初期条件に関連付ける方法について考えます。
- 開始ステップと終了ステップを読み直して、それらが互いに類似しているかどうかを確認します。これを行うときは、初期条件、定義、および他の問題からの同様の証明を使用してください。
- 自分自身に質問をして、前進してください。個々のステートメントを証明するために、「なぜこれが当てはまるのか」と自問してください。 -そして：「それは間違っているだろうか？」
- 最終結果が得られるまで、個々のステップを順番に書き留めることを忘れないでください。
- 例：角度AとBが相補的である場合、それらの合計は180°である必要があります。隣接する角度の定義によれば、角度AとBは直線ABCを形成します。線は180°の角度を形成するため、角度AとBの合計は180°になります。
5 一貫性があり論理的であるように、証明の個々のステップを配置します。 最初から始めて、証明可能な論文に向かって進んでください。証拠の検索の最後から始めると役立つ場合もありますが、それを書くときは正しい順序に従う必要があります。証明が論理的であり、疑いを引き起こさないように、別々の論文を次々にたどる必要があります。
- まず、行われた仮定を検討します。
- 読者がそれらの正しさについて疑いを持たないように、単純で簡単なステップで行われたステートメントを確認してください。
- 場合によっては、証明を複数回書き直す必要があります。最も論理的な構造に到達するまで、ステートメントとその証拠をグループ化し続けます。
- 例：最初から始めましょう。
  - 角度AとBは隣接しています。
  - コーナーABCの側面は直線を形成します。
  - 角度ABCは180°です。
  - 角度A +角度B =角度ABC。
  - 角度A +角度B =角度180°。
  - 角度Aは角度Bを補完します。
6 証明に矢印や略語を使用しないでください。 ドラフトではさまざまな略語や記号を使用できますが、読者を混乱させる可能性があるため、最終ドラフトには含めないでください。代わりに、「therefore」や「then」などの単語を使用してください。
- 例外として、理解できる略語が許可されます。たとえば、「ie。 e。」（つまり）ただし、適切に使用してください。
7 定理、法律、または定義で各論文をサポートします。 証拠は完璧でなければなりません。根拠のない発言はできません。あなたと同様の問題に対してどのように証明が作成されるかをご覧ください。
- 見つけた証拠を、それが真実であってはならない場合に適用してみて、真実であるかどうかを確認してください。そのような場合に証明が有効である場合は、どこが間違っていたかを確認してください。
- 幾何学的問題の証明は、多くの場合2列で記述されます。アサーションは右側に書かれ、その証明は左側に示されています。同時に、出版物では、数学的な証明が適切な文法の段落の形で作成されます。
8 「証明する必要がある場合」というフレーズで証明を終了します。 証明の終わりに、証明可能な論文がなければなりません。その後、「証明に必要なもの」（「h.etc。」または塗りつぶされた四角の形の記号）を書く必要があります。これは、証明が完了したことを意味します。
- ラテン語では、「証明するために必要なもの」というフレーズは、略語Q.E.D.に対応します。（（quod erat demonstrandum、つまり、「表示する必要があるもの」）。
- 証明の正しさについて疑問がある場合は、どのような結論に達したのか、なぜそれが重要なのかについて、いくつかのフレーズを書いてください。