3x3マトリックスの逆数を見つける - チップ

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反転は、他の方法で問題のある問題を単純化するために計算でよく使用されます。たとえば、分数をその数で直接除算するよりも、分数の逆数を掛ける方が簡単です。これは逆です。同様に、行列には分数記号がないため、その逆行列を乗算する必要があります。 3x3マトリックスの逆マトリックスを計算するのは非常に面倒ですが、検討する価値のある問題です。高度なグラフ計算機を使用してこれを行うこともできます。

手順

方法1/3：逆行列を見つけるために追加の行列を作成する

マトリックスの決定要因を確認してください。 最初のステップ：マトリックスの決定要因を見つけます。決定要因が0の場合、それは完了です：このマトリックスは元に戻せません。行列Mの決定要因は、det（M）で表すことができます。
- 3x3行列の逆数を見つけるには、最初にその決定要因を計算する必要があります。
- マトリックスの決定要因を見つける方法を確認するには、記事「3x3マトリックス決定要因の検索」を参照してください。
元のマトリックス転置。 転置とは、主対角線を横切ってマトリックスを反射すること、つまり、要素（i、j）と要素（j、i）を交換することを意味します。マトリックスの要素を転置する場合、メインの対角線（左上隅から右下隅まで）は一定のままです。
- 転置を理解するもう1つの方法は、最初の行が最初の列になり、中央の行が中央の列になり、3番目の行が3番目の列になるようにマトリックスを書き直すことです。上の図の色要素に注意して、数字の新しい位置に注意してください。
各2x2サブマトリックスの決定要因を見つけます。 新しい3x3変位マトリックスのすべての要素は、対応する2x2 'サブ'マトリックスにリンクされています。各要素のサブマトリックスを見つけるには、最初に最初の要素の行と列を強調表示します。 5つの要素すべてが強調表示されます。残りの4つの要素は、サブマトリックスを形成します。
- 上記の例では、行2、列1で要素のサブマトリックスを検索する場合、2番目の行と最初の列で5つの単語セクションを強調表示します。残りの4つの要素は、対応するサブマトリックスです。
- 上図に示すように、斜めに乗算し、2つの積を互いに減算することにより、各サブマトリックスの決定要因を見つけます。
- サブマトリックスとその使用法の詳細については、詳細をご覧ください。
代数的サブセクションのマトリックスを作成します。 前のステップで得られた結果を、各サブマトリックス決定子を元のマトリックスの対応する位置に配置することにより、代数サブセクションで構成される新しいマトリックスに配置します。したがって、元のマトリックスの要素（1,1）から計算された決定子は、位置（1,1）に配置されます。次に、上の図に示されている参照テーブルに従って、この新しいマトリックスの置換記号を変更する必要があります。
- 符号を決定するとき、先頭の最初の分子のマークが保持されます。 2番目の要素の符号が逆になります。 3番目の要素の符号は保持されます。マトリックスの残りの部分についても、そのように続けます。参照チャートの記号（+）または（-）は、最後まで要素が正または負の記号を持っていることを示していないことに注意してください。それらは、要素がそのまま維持される（+）か、（-）で変更されることを示しているだけです。
- 代数的付録の詳細については、マトリックスの基本を参照してください。
- このステップで得られる最終結果は、元のマトリックスの相補マトリックスです。共役行列とも呼ばれ、Adj（M）で表されます。
補数行列のすべての要素を決定要因で除算します。 最初のステップで計算した行列Mの決定要因を使用します（行列が可逆的であるかどうかを確認するため）。次に、マトリックスのすべての要素をこの値で割ります。各除算の商を元の要素の位置に置くと、元の行列の逆行列が得られます。
- 図に示されているサンプルマトリックスの決定要因は1です。したがって、相補マトリックスのすべての要素を決定要因で除算すると、それ自体が得られます（必ずしも幸運であるとは限りません）。。
- 一部のドキュメントでは、分割する代わりに、Mのすべての要素に1 / det（M）を掛けることとしてこのステップを示しています。数学的には、それらは同等です。
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方法2/3：線形行を減らして逆行列を見つける

ユニットマトリックスを元のマトリックスに追加します。 基本行列Mを書き込み、その行列の右側に垂直線を引き、次にこの線の右側に単位行列を書き込みます。この時点で、3行6列のマトリックスができました。
- アイデンティティマトリックスは、メインの対角線上にすべての要素があり、左上隅から右下隅まで1に等しく、残りの位置にあるすべての要素がゼロに等しい特別なマトリックスであることを忘れないでください。
線形行削減を実行します。 ここでの目標は、新しく拡張されたマトリックスの左側にユニットマトリックスを作成することです。左側で行削減手順を実行するときは、右側で対応する部分、つまりユニットマトリックスである部分を実行する必要があります。
- 行の削減は、マトリックスの個々の要素を分離するために、スカラーの乗算と行の加算または減算の組み合わせとして実行されることに注意してください。
ユニットマトリックスが形成されるまで続けます。 展開されたマトリックスの左側にアイデンティティマトリックスが表示されるまで（対角線上の要素は1に等しく、他の要素は0に等しい）、線形縮小を続けます。このステップに達すると、垂直分割の右側の部分は元のマトリックスの逆マトリックスになります。
逆行列を書き直します。 現在垂直仕切りの右側にある要素を複製します。これが逆行列です。広告

方法3/3：ポケット計算機で逆行列を見つける

行列を解くことができる計算機を選択してください。 単純な4関数計算機では、逆行列を直接見つけることはできません。ただし、数学的な繰り返しがあるため、Texas Instruments TI-83やTI-86などの高度なグラフ計算機を使用すると、作業を大幅に減らすことができます。
マトリックスを計算機に入力します。 まず、お使いのデバイスで利用可能な場合は、マトリックスキーを押して計算機のマトリックス機能を入力します。 Texas Instrumentsマシンでは、2Matrixを押す必要があります。
[編集]サブメニューを選択します。 このサブメニューにアクセスするには、設計に応じて、矢印ボタンを使用するか、コンピューターのキーボードの一番上の行にある適切な機能キーを選択する必要があります。
マトリックスの名前を選択してください。 ほとんどの計算機は、3から10のマトリックス、文字名、AからJで動作するように装備されています。通常、から始めましょう。 Enterキーを押して、名前の選択を確認します。
マトリックスサイズを入力します。 この記事では、3x3マトリックスに焦点を当てています。ただし、ポケット計算機はより大きな行列を処理できます。行数を入力してEnterキーを押し、次に列番号を入力してEnterキーを押します。
マトリックスの各要素を入力します。 マトリックスがコンピューター画面に表示されます。以前にマトリックス関数を使用したことがある場合は、以前に使用したマトリックスが画面に表示されます。カーソルは、マトリックスの最初の要素をマークします。解くマトリックス値を入力し、Enterキーを押します。カーソルは自動的に次の要素に移動し、前の値を上書きします。
- 負の数値を入力する場合は、マイナスキーではなく、計算機の負（-）ボタンを使用してください。マトリックス関数は正しく読み取れません。
- 必要に応じて、計算機の矢印キーを使用してマトリックス内を移動できます。
マトリックス関数を終了します。 マトリックス値全体を入力したら、Quit-Exitキー（または必要に応じて2 Quit）を押します。そのおかげで、マトリックス機能を終了し、計算機のメイン表示画面に戻ります。
逆キーを使用して、逆行列を見つけます。 まず、Matrix関数を再度開き、[名前]ボタンを使用して、マトリックスに付けるために使用したマトリックス名を選択します（おそらくそうです）。次に、計算機の逆キーを押します。デバイスによっては、ボタン2を使用する必要がある場合があります。表示画面が表示されます。 Enterキーを押すと、逆行列が画面に表示されます。
- 個々のクリックでA ^ -1を入力しようとするときは、コンピューターの^ボタンを使用しないでください。コンピュータはこの数学を理解しません。
- 反転キーを押したときにエラーメッセージが表示された場合は、親マトリックスが元に戻せない可能性が高くなります。たぶん、あなたは戻って定性的にそれがエラーの原因であるかどうかを判断する必要があります。
逆行列を正解に変換します。 コンピュータから返された最初の結果は10進数で表示されます。これは、ほとんどの目的で必ずしも「正しい」答えではありません。必要に応じて、この10進数の回答を分数に変換する必要があります（幸運な場合、すべての結果は整数です。ただし、非常にまれです）。
- たぶんあなたの計算機は自動的に小数を分数に変換する機能を持っています。たとえば、TI-86を使用している場合は、Math関数に移動し、[その他]、[Frac]の順に選択して、Enterキーを押すことができます。小数は自動的に分数として表されます。
ほとんどのグラフ計算機には、マトリックス関数を使用せずにマトリックスを入力できるようにする角括弧（TI-84の場合は2nd + xおよび2nd +-）があります。注：計算機は、enter / equalキーが使用されるまでマトリックスをフォーマットしない場合があります（つまり、すべてが同じ行にあり、あまり良くありません）。広告

助言

これらの手順に従って、数値だけでなく、変数、未知数、さらには代数表現も含む行列の逆数を見つけることができます。
数学を行うだけで3x3行列の逆数を見つけるのは非常に難しいため、すべての手順を書き留めてください。
30x30までの逆行列を見つけるのに役立つ計算プログラムがあります。
使用する方法に関係なく、MにMを掛けて、結果の精度を確認します。M * M = M * M = Iであることを確認します。ここで、Iは単位行列です。は、メインの対角線に沿って配置された要素1と、他の場所にあるゼロで構成されます。そのような結果が得られない場合は、どこかで間違っているに違いありません。