行列を分割する方法

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簡単な要約
ステップ
パート1/3：行列の分割可能性のテスト
パート2/3：逆行列を見つける
3のパート3：行列の乗算
チップ
警告
追加記事

2つの行列を乗算する方法を知っている場合は、行列の「分割」を開始できます。行列は実際には分割できないため、「除算」という単語は引用符で囲みます。除算演算は、1つの行列に2番目の行列の逆行列を乗算する演算に置き換えられます。簡単にするために、整数が10÷5の例を考えてみましょう。5：5または/の逆数を求めます。₅、次に除算を乗算に置き換えます：10 x 5;除算と乗算の結果は同じになります。したがって、除算は逆行列による乗算に置き換えることができると考えられています。通常、このような計算は連立一次方程式を解くために使用されます。

簡単な要約

行列を分割することはできません。分割する代わりに、1つの行列に2番目の行列の逆数を掛けます。 2つの行列[A]÷[B]の「除算」は次のように記述されます：[A] * [B]または[B] * [A]。
行列[B]が正方形でない場合、またはその行列式が0の場合は、「明確な解はありません」と書き留めます。それ以外の場合は、行列式[B]を見つけて、次の手順に進みます。
逆を見つけます：[B]。
行列を乗算して、[A] * [B]または[B] * [A]を見つけます。行列が乗算される順序が最終結果に影響することに注意してください（つまり、結果が異なる場合があります）。

ステップ

パート1/3：行列の分割可能性のテスト

1 行列の「除算」を理解します。 実際、行列は分割できません。「ある行列を別の行列で除算する」ような数学演算はありません。除算は、1つの行列に2番目の行列の逆数を掛けることによって置き換えられます。つまり、[A]÷[B]の表記が正しくないため、[A] * [B]の表記に置き換えられます。スカラー値の場合、両方のエントリは同等であるため、理論的には行列の「除算」について話すことができますが、正しい用語を使用することをお勧めします。
- [A] * [B]と[B] * [A]は異なる操作であることに注意してください。考えられるすべての解決策を見つけるには、両方の操作を実行する必要がある場合があります。
- たとえば、代わりに ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13＆26 39＆13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7＆4 2＆3 end {pmatrix}}}$ 書き留める ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13＆26 39＆13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7＆4 2＆3 end {pmatrix}} ^ {-1} }$ .
  あなたは計算する必要があるかもしれません ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7＆4 2＆3 end {pmatrix}} ^ {-1} * { begin {pmatrix} 13＆26 39＆13 end {pmatrix}} }$ 別の結果を得るには。
2 他の行列を「分割」する行列が正方形であることを確認してください。 行列を反転する（行列の逆行列を見つける）には、正方形である必要があります。つまり、行と列の数が同じである必要があります。逆行列が逆行列でない場合、明確な解決策はありません。
- ここでも、行列は「分割可能」ではありません。操作[A] * [B]では、記述された条件は行列[B]を参照します。この例では、この条件は行列を参照しています ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7＆4 2＆3 end {pmatrix}}}$
- 反転できる行列は、非縮退または正規と呼ばれます。反転できない行列は、縮退または特異と呼ばれます。
3 2つの行列を乗算できるかどうかを確認します。 2つの行列を乗算するには、最初の行列の列数が2番目の行列の行数と等しくなければなりません。エントリ[A] * [B]または[B] * [A]でこの条件が満たされない場合、解決策はありません。
- たとえば、行列[A]のサイズが4 x 3で、行列[B]のサイズが2 x 2の場合、解決策はありません。 4≠2であるため、[A] * [B]を乗算することはできません。また、2≠3であるため、[B] * [A]を乗算することはできません。
- 逆行列[B]は、常に元の行列[B]と同じ数の行と列を持っていることに注意してください。 2つの行列を乗算できることを確認するために、逆行列を見つける必要はありません。
- この例では、両方の行列のサイズは2 x 2であるため、任意の順序で乗算できます。
4 2×2行列の行列式を見つけます。 注意：行列式がゼロでない場合にのみ行列を反転できます（そうでない場合、行列を反転することはできません）。 2 x2行列の行列式を見つける方法は次のとおりです。
- 2 x 2マトリックス： 行列式 ${ displaystyle { begin {pmatrix} a＆b c＆d end {pmatrix}}}$ ad-bcと同じです。つまり、主対角線の要素の積（左上隅と右下隅を通過）から、他の対角線の要素の積（右上隅と左下隅を通過）を減算します。
- たとえば、行列式 ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7＆4 2＆3 end {pmatrix}}}$ は（7）（3）-（4）（2）= 21-8 = 13に等しい。行列式はゼロ以外であるため、この行列は反転できます。
5 より大きな行列の行列式を見つけます。 行列のサイズが3x 3以上の場合、行列式の計算は少し難しくなります。
- 3 x3マトリックス：任意のアイテムを選択し、そのアイテムが含まれている行と列に取り消し線を付けます。結果の2×2行列の行列式を見つけ、それを選択した要素で乗算します。行列式の符号を特別なテーブルで指定します。選択したアイテムと同じ行または列にある他の2つのアイテムについて、このプロセスを繰り返します。次に、受け取った（3つの）行列式の合計を求めます。 3 x 3行列の行列式を見つける方法の詳細については、この記事をお読みください。
- 大きな行列：このような行列の行列式は、グラフ電卓またはソフトウェアで探すのが最適です。この方法は、3×3行列の行列式を見つける方法と似ていますが、手動で適用するのはかなり面倒です。たとえば、4 x 4行列の行列式を見つけるには、4つの3 x3行列の行列式を見つける必要があります。
6 計算を続行します。 行列が正方形でない場合、またはその行列式がゼロに等しい場合は、「明確な解はありません」と記述します。つまり、計算プロセスが完了します。行列が正方行列であり、行列式がゼロ以外の場合は、次のセクションにスキップしてください。

パート2/3：逆行列を見つける

1 2 x2行列の主対角線の要素を交換します。 2×2行列が与えられた場合、クイック逆法を使用します。まず、左上の要素と右下の要素を入れ替えます。例えば：
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7＆4 2＆3 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3＆4 2＆7 end {pmatrix}}}$
- ノート： ほとんどの人は、電卓を使用して3 x 3（またはそれ以上）の行列を反転します。これを手動で行う必要がある場合は、このセクションの最後に進んでください。
2 残りの2つの要素を交換せずに、それらの符号を変更してください。 つまり、右上の要素と左下の要素に-1を掛けます。
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3＆4 2＆7 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3＆-4 -2＆7 end {pmatrix}}}$
3 行列式の逆数を見つけます。 この行列の行列式は前のセクションで見つかったので、再度計算することはしません。行列式の逆行列式は次のように記述されます。1/（行列式）：
- この例では、行列式は13です。逆の値： ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$ .
4 結果の行列に行列式の逆数を掛けます。 新しい行列の各要素に行列式の逆数を掛けます。最終的な行列は、元の2 x2行列の逆行列になります。
- ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3＆-4 -2＆7 end {pmatrix}}}$
  = ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}}＆{ frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}}＆{ frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$
5 計算が正しいことを確認してください。 これを行うには、元の行列にその逆数を掛けます。計算が正しければ、元の行列とその逆数の積が単位行列になります。 (1001){ displaystyle { begin {pmatrix} 1＆0 0＆1 end {pmatrix}}}..。テストが成功した場合は、次のセクションに進みます。
- この例では： ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}}＆{ frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}}＆{ frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7＆4 2＆3 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1＆0 0＆1 end {pmatrix}}}$ .
- 行列を乗算する方法の詳細については、この記事をお読みください。
- 注：行列の乗算の演算は可換ではありません。つまり、行列の順序が重要です。しかし、元の行列にその逆数を掛けると、任意の順序で単位行列になります。
6 3 x3行列の逆行列を見つける （またはそれ以上）。 このプロセスに既に精通している場合は、グラフ電卓または特別なソフトウェアを使用することをお勧めします。逆行列を手動で見つける必要がある場合、そのプロセスを以下に簡単に説明します。
- 元の行列の右側で単位行列Iを結合します。たとえば、[B]→[B | NS]。単位行列の場合、主対角線のすべての要素は1に等しく、他のすべての要素は0に等しくなります。
- 行列を単純化して、左側が階段状になるようにします。左側が単位行列になるように単純化を続けます。
- 簡略化すると、行列は次の形式になります。 NS]。つまり、その右側は元の行列の逆行列です。

3のパート3：行列の乗算

1 2つの可能な式を書き留めます。 2つのスカラーを乗算する演算は可換です。つまり、2 x 6 = 6 x2です。これは行列乗算の場合には当てはまらないため、次の2つの式を解く必要がある場合があります。
- NS = [A] * [B]は方程式の解です NS[B] = [A]。
- NS = [B] * [A]は方程式[B]の解ですNS = [A]。
- 方程式の両側で各数学演算を実行します。 [A] = [C]の場合、[B]は[A]の左側にあるが、[C]の右側にあるため、[B] [A]≠[C] [B]です。
2 最終的な行列のサイズを決定します。 最終的な行列のサイズは、乗算された行列のサイズによって異なります。最終行列の行数は最初の行列の行数に等しく、最終行列の列数は2番目の行列の列数に等しくなります。
- この例では、両方の行列のサイズ ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13＆26 39＆13 end {pmatrix}}}$ と ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}}＆{ frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}}＆{ frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$ は2x 2であるため、元の行列のサイズは2 x2になります。
- より複雑な例を考えてみましょう。行列[A]のサイズが 4 x 3であり、行列[B]のサイズは3 x 3の場合、最終的な行列[A] * [B]は4x3になります。
3 最初の要素の値を見つけます。 この記事を読むか、次の基本的な手順を覚えておいてください。
- 最終行列[A] [B]の最初の要素（最初の行、最初の列）を見つけるには、行列[A]の最初の行の要素と行列[B]の最初の列の要素の内積を計算します。 ]。 2 x 2行列の場合、内積は次のように計算されます。 ${ displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$ .
- この例では： ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13＆26 39＆13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}}＆{ frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}}＆{ frac {7} {13}} end {pmatrix}}}$ ..。したがって、最終的な行列の最初の要素は次の要素になります。
  ${ displaystyle（13 * { frac {3} {13}}）+（26 * { frac {-2} {13}}）}$
  ${ displaystyle = 3 + -4}$
  ${ displaystyle = -1}$
4 ドット積の計算を続けて、最終的な行列の各要素を見つけます。 たとえば、2番目の行と最初の列にある要素は、行列[A]の2番目の行と行列[B]の最初の列の内積に等しくなります。残りのアイテムを自分で見つけてみてください。次の結果が得られるはずです。
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13＆26 39＆13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}}＆{ frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}}＆{ frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1＆10 7＆-5 end {pmatrix}}}$
- 別の解決策を見つける必要がある場合： ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}}＆{ frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}}＆{ frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13＆26 39＆13 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9＆2 19＆3 終了{pmatrix}}}$

チップ

行列はスカラーに分割できます。このため、行列の各要素はスカラーで除算されます。
- たとえば、行列の場合 ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6＆8 2＆4 end {pmatrix}}}$ 2で割ると、行列が得られます ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3＆4 1＆2 end {pmatrix}}}$