電卓を使わずに数値の平方根を計算する

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ステップに
方法1/2：素因数分解によるルートプル
方法2/2：電卓なしで平方根を見つける
筆算あり
手順を理解する
チップ
警告

電卓が登場する前は、学生と教授の両方がペンと紙で平方根を計算する必要がありました。当時、この困難な作業に取り組むためにさまざまな手法が開発されました。その中には大まかな見積もりを与えるものもあれば、正確な値を計算するものもあります。いくつかの簡単な手順で数値の平方根を見つける方法を学ぶために読んでください。

ステップに

方法1/2：素因数分解によるルートプル

あなたの数を力の要因に分けなさい。 この方法では、数値の因数を使用して、数値の平方根を見つけます（数値によっては、正確な答えまたは推定値になる場合があります）。ザ・要因与えられた数のは、その特定の数を形成するために一緒に乗算される数の任意のシーケンスです。たとえば、2×4 = 8であるため、8の因数は2と4に等しいと言えます。一方、完全な平方は、他の整数の積である整数です。たとえば、25、36、および49は、それぞれ5、6、および7に等しいため、完全な平方です。2番目の累乗係数は、ご存知のとおり、完全な平方でもある係数です。素因数を使用して平方根を見つけるには、最初に数値を2番目のべき因数に分割してみます。
- 次の例を見てください。 400の平方根を見つけます。まず、数値を電力係数に分割します。 400は100の倍数であるため、25で均等に割り切れることがわかります。これは完全な正方形です。クイックロートは、400/25 = 16.16も完全な正方形であることを示しています。したがって、400の3乗因数は次のようになります。 25と16 25×16 = 400だからです。
- これを次のように記述します。Sqrt（400）= Sqrt（25×16）
2番目のパワーファクターの平方根を取ります。 平方根の積の法則は、任意の数に対して次のように述べています。 a そして b、Sqrt（a×b）= Sqrt（a）×Sqrt（b）。この特性により、二乗因子の平方根を取り、それらを乗算して答えを得ることができます。
- この例では、25と16の平方根を取ります。以下を参照してください。
  - 平方根（25×16）
  - 平方根（25）×平方根（16）
  - 5 × 4 = 20
あなたの数を完全に因数分解できない場合は、それを単純化してください。 実際には、平方根を決定したい数値は、400のような素敵な正方形の良い丸められた数値ではありません。これらの場合、答えとして整数を取得できない場合があります。代わりに、見つけることができるすべてのパワーファクターを使用して、より小さく、使いやすい平方根として答えを決定できます。これを行うには、数を電力係数と他の係数の組み合わせに減らしてから、単純化します。
- 例として、147の平方根を取り上げます。 147は2つの完全な平方の積ではないため、適切な整数値を取得できません。しかし、それは完全な正方形と別の数（49と3）の積です。この情報を使用して、最も簡単な用語で答えを書くことができます。
  - 平方根（147）
  - =平方根（49×3）
  - =平方根（49）×平方根（3）
  - = 7×平方根（3）
必要に応じて簡略化します。 最も簡単な用語で平方根を使用すると、通常、残りの平方根を推定してそれらを乗算することにより、答えの大まかな推定値を取得するのはかなり簡単です。推測を改善する1つの方法は、平方根の数値の両側にある完全な正方形を見つけることです。平方根の数値の10進値は、これら2つの数値の間のどこかにあることがわかっているため、推測もこれらの数値の間にある必要があります。
- 例に戻りましょう。 2 = 4および1 = 1であるため、Sqrt（3）は1から2の間にあり、おそらく1よりも2に近いことがわかります。1.7と推定されます。 7×1.7 = 11,9。電卓でこれを確認すると、答えにかなり近いことがわかります。 12,13.
  - これは、より大きな数でも機能します。たとえば、sqrt（35）はおおよそ5から6の間です（おそらく6に近いです）。 5 = 25と6 = 36.35は25から36の間なので、平方根は5から6の間になります。 35は36のすぐ下にあるので、その平方根はある程度自信を持って言えます。ただは6未満です。電卓で確認すると、約5.92の答えが得られます。正しかったです。
または、最初のステップとして、数値を単純化して、 最小公倍数. 数の素因数（同時に素数でもある因子）を簡単に見つけることができる場合は、力率を検索する必要はありません。最小公倍数で数値を書きます。次に、素数の一致するペアを探すために因子間を検索します。一致する2つの素因数を見つけたら、それらを平方根から削除して配置します a 平方根記号の外側のこれらの数の。
- たとえば、この方法を使用して45の平方根を決定します。 45 = 9×5および9 = 3×3であることがわかっているので、次のように平方根を書くことができます：Sqrt（3×3×5）。 3を削除し、平方根の外側に3を配置するだけで、単純化された平方根が得られます。 （3）平方根（5）。 これで、簡単に見積もりを行うことができます。
- 最後の例。 88の平方根を決定します。
  - 平方根（88）
  - =平方根（2×44）
  - =平方根（2×4×11）
  - =平方根（2×2×2×11）。平方根にいくつかの2があります。 2は素数なので、ペアを削除して2をルートの外側に配置できます。
  - =最も簡単な用語での平方根は（2）Sqrt（2×11）または （2）平方根（2）平方根（11）。 これで、必要に応じて、Sqrt（2）とSqrt（11）にアプローチし、おおよその答えを見つけることができます。

方法2/2：電卓なしで平方根を見つける

筆算あり

あなたの数の桁をペアに分けなさい。 この方法は、筆算に似ています。これにより、正確数字の平方根を1桁ずつ。必須ではありませんが、数値を実行可能な部分に分割すると、特に長い場合は、解決が容易になります。最初に作業領域を2つの領域に分割する垂直線を描画し、次に右側の領域の上部近くに短い線を描画して、上部の小さな部分と下部の大きな部分に分割します。次に、小数点から始めて、数値を数値のペアに分割します。このルールでは、79520789182.47897は「795 20 78 91 82.478970」になります。この番号を左上の領域に記入してください。
- 例として、780.14の平方根を計算してみましょう。上記のように作業スペースを分割し、左上隅に「7 80、14」と記入します。左端に2つではなく1つの番号があれば問題ありません。次に、右側の領域の上部に回答（780.14の平方根）を書き込みます。
最大の整数を見つける n その平方が左端の桁または数以下である。 この数以下の最大の正方形を見つけてから、この正方形の平方根を見つけます。この番号は n。それを右上の領域に書き込み、その領域の下の象限にnの2乗を書き込みます。
- この例では、左端の桁は数値7です。2=4≤73= 9であることがわかっているので、これは2乗が7以下の最大の整数であるため、n = 2と言えます。右上の象限に2を書き込みます。これは答えの最初の桁です。右下の象限に4（2の平方根）を書き込みます。この番号は次のステップで重要です。
計算した数値を引く 左端の数字または数字の。 筆算と同様に、次のステップは、計算に使用した数から2乗を引くことです。この数字を左端の数字の下に書き、それらを引きます。以下に答えを書いてください。
- この例では、7の下に4を記述し、それを減算します。これは与える 3 に応じて。
次の番号を下に移動します。 前の編集で見つけた値の横にこれを配置します。右上の数字に2を掛けて、右下に書き留めます。次のステップで行う合計のために、書き留めた数字の横にスペースを残します。ここに「_×_ = "」と書いてください。
- この例では、次の番号は「80」です。左の象限の3の横に「80」と書きます。次に、右上の数値に2を掛けます。この数値は2なので、2×2 = 4です。右下に「 "4"」と書き、その後に続けます。 _×_=.
右側に数字を入力してください。 合計の空白スペース（右）に、右側の乗算合計の結果が左側の現在の数値以下になる最大の整数を入力します。
- この例では、8と入力すると、4（8）×8 = 48×8 = 384になります。これは380より大きいため、8は大きすぎますが、7はおそらくそうではありません。 7を入力して、次のように解きます。4（7）×7 =329。329は380未満なので、7が適切です。右上に7と記入してください。これは、780.14の平方根の2桁目です。
左側の現在の数値から、計算したばかりの数値を引きます。 したがって、左側の現在の回答から右側の乗算の結果を減算します。そのすぐ下にあなたの答えを書いてください。
- この例では、380から329を引くと、次のようになります。 51 結果として。
手順4を繰り返します。 次の数字のペアを780.14から下に移動します。カンマにたどり着いたら、右の答えにそのカンマを書いてください。次に、右上の数字に2を掛けて、上記のように（ "_×_"）の横に答えを書きます。
- 私たちの答えでは、780.14でもこれに遭遇したため、コンマを記述します。次のペア（14）を左の象限の下に移動します。 27 x 2 = 54なので、右下の象限に「54_×_ =」と記述します。
手順5と6を繰り返します。 左側の現在の数以下の答えを与える最大の数を見つけます。解決する。
- この例では、549×9 = 4941であり、左側の数値（5114）以下です。 549×10 = 5490、これは高すぎるので、9が私たちの答えです。次の右上の数値として9を書き込み、左の数値から乗算の結果を減算します：5114 -4941 = 173。
結果を正確にするには、必要な小数点以下の桁数（100分の1、1000分の1）で答えが見つかるまで、前の手順を繰り返します。

手順を理解する

平方根を計算したい数を正方形の面積Sと考えてください。 正方形の面積はLであり、Lはその辺の1つの長さであるため、数値の平方根を見つけることによって、その正方形の辺の長さLを計算しようとします。
あなたの答えの各桁に手紙を与えなさい。 Lの最初の桁として変数Aを入力します（計算しようとしている平方根）。 Bは2桁目、Cは3桁目、というように続きます。
あなたが始めた数のそれぞれの「数のペア」に手紙を与えなさい。 変数Sを与える_a S（初期値）の最初の桁のペア、Sに。_b 2番目の数字のペアなどに。
この方法と筆算の関係を理解します。 平方根を見つけるこの方法は、本質的に長い除算であり、初期値をその平方根で除算し、その答えとして平方根を「与えます」。一度に次の桁だけに関心がある筆算と同様に、一度に次の2桁（平方根の次の桁に対応）だけに関心があります。
平方がS以下の最大数を見つけます。_a です。 その場合、回答の最初の桁Aは、正方形がS以下の最大の整数になります。_a （A²≤Sa（A + 1）²となるようなA）。この例では、S_a = 7、および2²≤73²、つまりA = 2。
- 筆算を使用して88962を7で除算する場合、最初のステップは等しくなります。最初に88962（8）の最初の桁を処理し、8以下の7を掛けた最大桁が必要です。決定する d 7×d≤87×（d + 1）のように。この場合、dは1に等しくなります。
領域を見つけたい正方形を視覚化します。 あなたの答え、初期値の平方根はLであり、これは面積S（初期値）を持つ正方形の長さを表します。 A、B、Cの値は、値Lの数字を表します。別の言い方をすれば、2桁の回答の場合は10A + B = L、3桁の回答の場合は100A + 10Bです。 + C = Lなど。
- この例では （10A + B）²= L = S =100A²+ 2×10A×B +B²。 10A + Bは、単位の位置にあるB、および10の位置にあるAとともに、回答Lを表すことに注意してください。たとえば、A = 1およびB = 2の場合、10A + Bは数値12です。 （10A + B）² は正方形全体の面積ですが、 100A² 最大の内側の正方形の面積です、 B² 最小の正方形の面積であり、 10A×B 残りの長方形のそれぞれの面積です。この長くて複雑な手順を通して、正方形とその一部である長方形の面積を追加することで、正方形全体の面積を見つけることができます。
SからA²を引きます。_a. 数字のペアを持参してください（S。_b）数S.Sから下がる。_a S。_b はほぼ正方形の総面積であり、そこから最大の内側の正方形の面積を差し引いたところです。余りは、たとえば、ステップ4で取得した数値N1です（この例ではN1 = 380）。 N1は2×10A×B +B²（2つの長方形の面積と小さな正方形の面積）に等しくなります。
N1 = 2×10A×B +B²を見てください。N1=（2×10A + B）×Bとも表記されます。 この例では、すでにN1（380）とA（2）を知っているので、Bを見つける必要があります。 Bはおそらく整数ではないので、 実際に （2×10A + B）×B≤N1となるような最大の整数Bを見つけます。これで、N1（2×10A +（B + 1））×（B + 1）ができました。）
方程式を解きます。 この方程式を解くには、Aに2を掛け、それを10にシフトし（10を掛ける）、Bを単位に入れ、結果にBを掛けます。つまり、（2×10A + B）×Bです。手順4の右下の象限に「N_×_ =」（N = 2×A）と書くと、正確に何をしますか。手順5では、線の下に収まる最大の整数Bを決定します。つまり、（2×10A + B）×B≤N1。
総面積から面積（2×10A + B）×Bを引きます。 これにより、まだ考慮されていない（そして同じ方法で次の数値を計算するために使用する）面積S-（10A + B）²が得られます。
次の桁Cを計算するには、手順を繰り返します。 次の数字のペアをSから下に移動します（S_c）N2を左側に配置し、最大のCを探して、次のようにします。（2×10×（10A + B）+ C）×C≤N2（2桁の数字「AB」の2倍に等しい） by "_×_ ="ここで、ここに入力できる最大数を決定します。これにより、N2以下の回答が得られます。

チップ

カンマを2桁（100倍）移動すると、対応する平方根のカンマが1桁（10倍）移動します。
この例では、1.73は「剰余」と見なすことができます：780.14 =27.9²+ 1.73。
この方法は、10進数（10進数）システムだけでなく、任意の記数法で機能します。
自由に計算を好きな場所に配置してください。平方根を計算したい数の上に書く人もいます。
別の方法は次のとおりです。√z=√（x ^ 2 + y）= x + y /（2x + y /（2x + y /（2x + ...）））。たとえば、780.14の平方根を計算するには、その平方が780.14（28）に最も近い整数を使用します。つまり、= 780.14、x = 28、およびy = -3.86です。記入して見積もると、x + y /（2x）が得られ、これにより（簡略化された用語）78207/2800または約27.931（1）が得られます。次の用語、4374188/156607または約27.930986（5）。各項は、前の項に小数点以下3桁の精度を追加します。